Основные определения, теоремы и формулы планиметрии

Обозначения:

AВС — треугольник с вершинами А, B, С. а = BC, b = AС, с = АB — его стороны, соответственно, медиана, биссектриса, высота, проведенные к стороне а, Р - периметр,

— полупериметр, R и r — радиусы соответственно описанном и вписанной окружностей.

S -- площадь фигуры, d₁,d₂ -— диагонали четырехугольника,

— угол между прямыми a и b;

— знаки, параллельности. пендикулярности, подобия соответственно.

О — определение, Т — теорема.

Т—1. (Признаки параллельности прямых, рис. (6).

Две прямые параллельны, если:

внутренние накрест лежащие углы равны: < 3 = < 5;
внешние накрест лежащие УГЛЫ равны: < 1 = < 7;
соответственные углы равны: <1 = < 5;
сумма внутренних односторонних углов равна 180°: < 2 + < 5= 180°;
сумма внешних односторонних углов равна 180°: < 1 + < 6 = 180°.

О-1. А₁В₁С₁', ~ АВС (k - коэффициент подобия), если их стороны пропорциональны, а соотиетствепныг углы равны (рис. 7):

Т—2 (признаки подобия). Два треугольника подобны, если:

дня угла одного равны двум углам другого ;
дне стороны одного пропорциональны двум сторонам другого , а углы, заключенные между этими сторонами, равны;
три стороны одного пропорциональны трем сторонам другого .

Т—3. В подобных треугольниках пропорциональны все их линейные элементы (с одним и тем же k): стороны, медианы, биссектрисы, высоты, радиусы вписанных и описанных окружностей и пр.

Т—4 (Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от них пропорциональные отрезки (рис. 8):

Т—5. Сумма углов треугольника равна 180°.

Т—6. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану на части в отношении 2 : 1, считая от вершины (см. рис. 9):

Т—7. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине (рис. 10):

Т—8. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам:

BD : СD = АВ : AС (см. рис. 11).

Т—9. Вписанный угол (образованный двумя хордами, исходящими и:> одной. точки окружности) измеряется половиной дуги, на которую он,опирается (рис. 12):

Т-10. Центральный угол, образованный двумя радиусами окружности, измеряется дугой, на которую он опирается (см. рис. 12):

Т—11. Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, измеряется половиной дуги, заключенной между его сторонами (рис. 13):

Т—12. Угол между двумя секущими с вершиной вне окружности измеряется полуразностыо двух дуг, заключенных между его сторонами (рис. 14):

Т—13. Касательные, проведенные к окружности из общей точки, расположенной вне окружности, равны: В А = ВС. Угол между двумя касательными (описанный угол) измеряется полуразностыо большей, и меньшей дуг, заключенных между точками касания (рис. 15):

Т—14. Угол между двумя хордами с вершиной внутри круга измеряется полусуммой двух дуг, одна из которых заключена между его сторонами,

другая — между их продолжениями (рис. 16):

Т—15. Если две хорды пересекаются внутри круги, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой (см. рис. 16):

АО • ОB = СО • OD.

Т—16. Если из точки вне круга проведены касательная и секущая, то квадрат касательной равен произведению отрезка секущей на ее внешнюю часть (рис. 17):

Т—17. В прямоугольном треугольнике (а, b -- катеты, с — гипотенуза. h — высота, опущенная на гипотенузу, а_c, b_c — проекции катетов па гипотенузу) имеют место (рис. 18):

1. формула Пифагора:

c² = a² + b²

2. формулы

3. определение тригонометрических величин (функций) острых углов:

4. формулы решения прямоугольного треугольника:

5. центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы и

Т—18 (теорема синусов).

В произвольном треугольнике (рис. 19)

Т-19 (теорема косинусов).

В произвольном треугольнике (рис. 19):

Т—20. Сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин его сторон:

Т—21. Центр окружности, описанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла. Радиус окружности перпендикулярен стороне угла и точке касания. Центр окружности, вписанной в треугольник, находится в точке пересечения биссектрис углов треугольника.

Т—22. Центр окружности, описанной около треугольника, расположен в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.

Т—23. В описанном около окружности четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. В частности, если равнобочная трапеция описана около окружности, то ее средняя линия равна боковой стороне.

Т—24. Во вписанном в окружность четырехугольнике суммы противоположных углов равны 180°.

Т—25. Площадь треугольника равна

T—26. В правильном треугольнике со стороной a:

Т—27. В правильном n-угольнике (a_n — сторона n-угольника, R — радиус описанной, r — радиус вписанной окружности):

Т—28. Площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон.

О-2. Две фигуры называются равновеликими, если их площади одинаковы.

Т—29. Медиана делит треугольник на две равновеликие части. Три медианы делят треугольник на шесть равновеликих частей. Отрезки, соединяющие точку пересечения медиан с вершинами, делят треугольник на три равновеликие части.

Т—30. В произвольном треугольнике длина медианы вычисляется следующим образом (рис. 19):