312.3. Радиус основания конуса равен 14 см. Найдите площадь сечения, проведенного перпендикулярно его оси через ее середину.

Способ 1. Радиус О₁С₁ сечении конуса (рис. 80) представляет собой среднюю линию треугольника следовательно,

Способ 2. Площадь основания конуса равна

Площади сечений конуса относятся как квадраты расстояний от их центров до вершины:

Следовательно,

312.4. В цилиндр наклонно вписан квадрат так, что все его вершины лежат па окружностях оснований. Найдите сторону квадрата, если высота цилиндра раина 2 см, а радиус основания равен 7 см.

Пусть ABCD — квадрат, о котором идет речь в условиях задачи (рис. 87). Обозначим его сторону через х:
АB = АD = х.
Проекции томек С и D па нижнюю окружность обозначим через С₁ и D₁. Фигура АВС₁D₁ — прямоугольник, так как

С₁D₁ = CD = АВ

и

С₁D₁ || CD || АВ

Обозначим: AD₁ = у. Используем теорему Пифагора в прямоугольных треугольниках:
I. Треугольник ABD₁ со сторонами x, у и BD₁ —2*7 (диагональ BD₁ прямоугольника является диаметром окружности):

x² + у² = 14² = 196.

2. Треугольник AD₁D со сторонами

AD₁= y,

D₁D = 2

и AD = x

т. е.

ó² + 2² = x²

x² - ó² = 4

Складывая почленно уравнения, находим 2х² =200
т.е
x = 10.

Ответ. 10 см.