- непрерывная случайная величина
Вопросы по теории вероятностей
+ Основные понятия теории вероятностей: события, вероятность события, частота события, случайная величина.
X – случайная величина.
x – значение случайной величины.
- непрерывная случайная величина
Дискретная случайная величина – можно пересчитать.
Практически не возможное событие, вероятность которого близка к нулю 0 (0,01; 0,1).
Практически достоверное событие, вероятность которого близка к единице 1 (0,99; 0,9888).
Сумма событий и произведение событий.
А,В,….,G - события
Суммой событий
называется некоторое событие S=A+B+….+G=A
B
….
G, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.
Пример: Допустим идет стрельба по мишени
А 1 - попадание при первом выстреле
А 2 - попадание при втором выстреле
S=A 1 +A 2 (хотя бы одно попадание)
Произведением
некоторых событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. S=ABC…G=
Пример: А 1 - промах при первом выстреле
А 2 - промах при втором выстреле
А 3 - промах при третьем выстреле
(не одного попадания)
Теорема сложения вероятностей.
Вероятность двух не совместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
P(A) P(B)
P(A+B)=P(A)+P(B)
S=S 1 +S 2 +…+S n
P(S)=P(S 1 )+P(S 2 )+…+P(S n )
Следствие: Если событие S 1 , S 2 , …, S n образуют полную группу не совместных событий, то сумма их вероятностей равна 1.
Противоположными событиями
называются два не совместных события, образующие полную группу
.
(пример - монетка имеющая орел и орешко)
Если два события A и B совместны, то вероятность совместного появления двух событий вычисляется по формуле:
Условие независимости события А от события В: P(A|B)=P(A), то P(B|A)=P(B)
Условие зависимости
события А от события В: P(A|B)
P(A), P(B|A)
P(B) (Если А не зависит от В, то и В не зависит от А - условие не зависимости условий взаимно).
Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из событий на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что событие первое имело место:
P(AB)=P(A)P(B|A), P(AB)=P(B)P(A|B)
Следствие: Вероятность произведения нескольких не зависимых событий равна произведению вероятностей этих событий. P(A 1 A 2 …A n )=P(A 1 )P(A 2 )…P(A n )
Пример: на монете выпадет орел 2 раза
S=A ор A ор S=P 2 (A)=(1/2) 2 =1/4
Закон распределения случайных величин
Ряд и многоугольник распределений. Случайная величина - это величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение не известное заранее какое.
Большие буквы - случайные величины. Малые буквы - их возможные решения.
Рассмотрим случайную дискретную величину Х с возможными значениями x 1 , x 2 , …, x n
В результате опыта :
Обозначим вероятность соответствующих событий через P i
, так как рассматриваемые события образуют полную группу не совместных событий, то
Х полностью описана с вероятностной точки зрения, если мы зададим распределение вероятности p i (i=1,2…,n), то есть в точности указаны решения вероятности p i каждого события x i
Этим будет установлен закон случайной величины x i .
Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение устанавливающее связь между возможными значениями случайных величин и соответствующими вероятностями.
Простейшей формой записи законов распределения является таблица:
|
X |
x1, x2, …, xn |
|
P |
p1, p2, …, pn |
Многоугольник и ряд распределения полностью характеризует случайную величину и является одной из форм законов распределения. (Для непрерывной случайной величины построить невозможно).
Плотность и функция распределения.
Функция распределения непрерывной случайной величины (Х), задана выражением:
F(4)=1 -> a4=1, a=0,25
- два способа решения.
Функция распределения
Для непрерывной случайной величины Х вместо вероятности равенства Х=х используют вероятность Р(Х<х). F(x)=P(X<x)
F-функция распределения случайной величины х
F(x) -интегральный закон распределения или интегральная функция распределения.
F(x) -самая универсальная характеристика случайной величины, она существует для всех случайных величин как дискретных так и непрерывных.
Основные свойства функции распределения.
функция распределения F(x)=0; F(
)=0
F(x)=1; F(
)=1
Для дискретной случайной величины:
Функция распределения любой дискретной случайной
величины всегда есть разрывная ступенчатая функция,
скачки которых происходят в точках соответствующих
возможных значений случайных величин и равны
вероятностям этих значений. Сумма всех скачков
равна 1.
F(x) непрерывной случайной величины
Часто используют величины квантиль
и
-процентная точка
Квантиль - решение уравнения
- процентная точка определяется из уравнения
Формула полной вероятности.
Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с одним из событий H 1 , H 2 , …, H n , образующие полную группу не совместных событий. Эти события назовем гипотезами. Докажем, что в этом случае вероятность событий:
Вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятностей каждой гипотезы на условную вероятность события при этой гипотезе.
применяем 2
е
теоремы:
Теорема гипотез (формула Байеса).
Пусть вероятность полной группы не совместных гипотез H 1 , H 2 , …, H n известны и равны P(H 1 ), P(H 2 ), …, P(H n ). Событие А может появиться совместно с условной вероятностью P(A|H i ) (i=1,2,…,n).
Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез после проведения опытов в связи с появлением этого события. Иными словами, требуется найти условную вероятность P(H i ,A).
Формула Байеса:
Числовые характеристики случайных величин.
Закон распределения случайных величин, представленный в той или иной форме, дает исчерпывающее описание случайной величины. Наиболее существенные особенности распределения в компактной форме описываются так называемыми числовыми характеристиками случайных величин. Они играют в теории вероятности огромную роль, с их помощью облегчается решение вероятностных задач. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся числовые характеристики.
Характеристики положения.
Мат. Ожидание Мода Медиана
Важнейшая характеристика математическое ожидание , которая показывает среднее значение случайной величины.
Математическое ожидание величины Х обозначается М[X], или m x .
Для дискретных случайных величин математическое ожидание :
Сумма значений соответствующего значения на вероятность случайных величин.
Модой
(Mod) случайной величины Х называют ее наиболее вероятное значение.Для дискретной случайной величины. Для непрерывной случайной величины.
Mod=X 3 Mod=X 0
Одно-модальное распределение
Много модальное распределение
В общем случае Mod и математическое ожидание не
совпадают.
Медианой (Med) случайной величины Х называют такое значение, для которой вероятность того что P(X<Med)=P(X>Med). У любого распределения Med может быть только один.
Med разделяет площадь под кривой на 2 равные части. В случае одно-модального и симметричного распределения
mx=Mod=Med
Моменты.
Чаще всего на практике применяются моменты двух видов начальное и центральное.
Начальный момент.
-го порядка дискретной случайной величины Х называется сумма вида:
Для непрерывной случайной величины Х начальным моментом
порядка называется интеграл
, очевидно, что математическое ожидание случайной величины есть первый начальный момент.
Пользуясь знаком (оператором) М, начальный момент
-го порядка можно представить как мат. ожидание
-ой степени некоторой случайной величины.
Центрированной
случайной величиной соответственной случайной величины Х называют отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания:
Математическое ожидание центрированной случайной величины равно 0.
Для дискретных случайных величин имеем:
Моменты центрированной случайной величины носят название Центральных моментов
Центральный момент порядка
случайной величины Х называют математическим ожиданием
-ой степени соответствующей центрированной случайной величины.
Для дискретных случайных величин:
Для непрерывных случайных величин:
Связь между центральными и начальными моментами различных порядков
Из всех моментов в качестве характеристики случайной величины чаще всего применяют первый момент (мат. ожидание)
и второй центральный момент
.
Второй центральный момент называют дисперсией случайной величины. Он имеет обозначение:
Согласно определению
Для дискретной случайной величины:
Для непрерывной случайной величины:
Дисперсия случайной величины есть характеристика рассеянности (разбросанности) случайных величин Х около ее математического ожидания.
Дисперсия означает рассеивание. Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины.
Для наглядной характеристики рассеивания удобнее использовать величину, m y той, что и размерность случайной величины. С этой целью из дисперсии извлекают корень и получают величину, называемую - среднеквадратичным отклонением (СКО) случайной величины Х, при этом вводят обозначение:
Среднеквадратичное отклонение иногда называют "стандартом" случайной величины Х.
Итак:
Математическое ожидание m
x
и D
x
(или СКО
) наиболее частые употребляемые характеристики случайных величин, так как они определяют наиболее важные черты распределения, его положения и степень разбросанности.
Равномерное распределение
Равномерная плотность распределения определяется следующим образом:
Функция распределения определяется:
Найдем числовые характеристики:
(математическое ожидание)
(медиана), Mod - не существует для данного распределения
(дисперсия),
(среднеквадратичное отклонение)
Закон распределения Пуасона
Рассмотрим дискретную случайную величину х, имеющую ряд распределения:
|
X |
X 0 =0 |
X 1 =1 |
… |
X m =m |
… |
|
P |
P 0 |
P 1 |
… |
P m |
… |
Говорят, что данное случайное распределение подчинено закону распределения Пуасона.
(k=m-1)
Нормальный закон распределения (закон Гауса)
Главная особенность в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие распределения, при весьма часто встречающихся типичных условиях.
Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида:
Можно показать, что дисперсия
Независимые случайные величины.
Случайные величины
x
и
y
независимы если вероятность
.
Для зависимых величин
x
и
y
вероятность
Корреляционным моментом или Ковариацией случайных величин x и y называют величину:
Можно показать, что для независимых случайных величин cov(x,y)=0
Коэффициент корреляций
Случайные величины x
1
, x
2
, x
3
, …, x
n
, называются не коррелированными, если
Теорема о числовых характеристиках
В общем случае:
, где
Для не корреляционных случайных величин:
В широком смысле слова, закон больших чисел характеризует устойчивость средних. При очень большом числе случайных явлений - перестает быть случайным и может быть предсказан с большей степенью определенности. В узком смысле под законом больших чисел понимается ряд математических теорем, в которых устанавливаются факты приближения средних характеристик большого числа опытов к некоторым определенным постоянным. Другая группа предельных теорем касается уже не предельных значений случайных величин, а предельных законов распределения. Эта группа теорем известна под названием " центральной предельной теоремы ".
Неравенство Чебышева.
P( |X-m x | > E) <= D x /E 2
Теорема Чебышева
Теорема Чебышева дает одну из наиболее возможных форм закона больших чисел. Она устанавливает связь между средним арифметическим и ее математическим ожиданием наблюденных значений случайной величины.
Y
n
=( X
1
+ X
2
+ …. + X
n
) * 1/n = 1/n
M[Yn] = i/n
= 1/n *
= 1/n * n * m
x
= m
x
Мат ожидание среднего не зависит от n
Теорема Чебышева устанавливает в точной количественной форме это свойство устойчивости среднего арифметического.
Теорема Чебышева: При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины сходится по вероятности n т ее математическому ожиданию.
В можематической форме это означает следующее:
, где
и
сколь угодно положительные числа
и
.
Теорема Бернулли
Теорема Бернулли: При неограниченном увеличении числа опытов n , частота события a сходится по вероятности к его вероятности P
- (вероятность). m-произошло событие. n-число опытов.
Центральная предельная теорема
Рассмотрим одну из наиболее общих форм центральной предельной теоремы:
Пусть имеется взвешенная сумма независимых случайных непрерывных величин x 1 , x 2 , x 3 , …., x n с произвольными законами распределения:
, где
постоянная, фиксированная числа.
Пусть i-ая случайная величина имеет
и
(i=1,2,3,…,n-1,n)
Согласно теореме о числовых характеристиках случайных величин, получим:
Центральная предельная теорема утверждает, что при достаточно общих условиях распределения суммарной Y
n
при
стремиться к нормальному распределению
Опыт показывает, что когда
или меньше, то закон распределения суммы может быть заменен нормальным.
Доверительный интервал и доверительная вероятность используется в математической статистике точности и надежности полученной оценки a* неизвестного параметра a.
=0,95 или 0,98; 0,99 - Назначим вероятность достаточно большую.
Найдем значение интервала
, при котором вероятность a*-a
вероятность, что выйдет за пределы интервала:
Интервал,
покрывающий
a
называется доверительным интервалом.
Вероятность
называется доверительной вероятностью.
Оценка a* называется точечной оценкой.
Оценка
называется интервальной оценкой.
Рассмотрим серию из n однородных, не зависимых опытов, проводимых в одинаковых условиях, в каждом из которых может появиться или не появиться событие А . Вероятность появления F=P, не появления q=1-P. Предполагается, что вероятность р остается одной и той же в каждом опыте.
Требуется найти вероятность Р m,n того, что А в этих n опытах появится ровно m раз (0<=m<=n).
-Биномиальное распределение.
, где
Если производится n неизвестных опытов в каждом из которых событие А появляется с вероятностью Р , то вероятность того что событие А появится ровно m раз выражается формулой:
Задача на схему случаев
В урне 3 белых и 4 черных шара. Какова вероятность изъятия из урны трех черных шаров?
n - общее число возможных случаев изъятия 3 шаров из урны.
m - число благоприятных случаев. (все три шара черные)
,
Задача на не совместные события.
Мишень состоит из 2-х зон, при одном выстреле вероятность попадания в зону 1=0,2, в зону 2=0,4
Найти вероятность промаха?
- попадание.
- промах.
А=А 1 +А 2 ; P(A)=P(A 1 )+P(A 2 )-P(A 1 A 2 ); P(A 1 A 2 )=0
Задача на умножение вероятностей.
В урне находится 3 белых и 2 черных шара. Вынимается по 2 шара.
Найти вероятность того, что оба шара белые?
А 1 - первый шар белый.
А 2 - второй шар белый.
А=А 1 А 2
Задача на умножение вероятностей.
В урне находятся 3 белых и 2 черных шара. Вынимают по очереди 2 шара, причем первый обратно возвращают.
Какова вероятность что будут вынуты оба черных шара?
Задача на формулу полной вероятности.
Имеется 3 урны.
В одной 2 белых и 1 черный шар
Во второй 1 белый и 1 черный шар.
В третьей 3 белых и 2 черных шара.
Выбирается одна из урн и из нее 1 шар. Какова вероятность, что шар черный?
А - черный шар. P(A)=?
n=10 m=4
Второй способ через формулу полной вероятности.
H 1 ; H 2 ; H 3 ;
Задача на теорему о повторении опытов.
Проводят 4 независимых опыта. Вероятность события в каждом из опыте равна 0,3
Построить ряд и многогранник числа событий.
Введем Х-число появлений событий в результате проведенных опытов.
X=X 0 =0
X=X 1 =1
X=X 2 =2
X=X 3 =3
X=X 4 =4
- теорема о повторении опытов.
|
X |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
P |
0,0024 |
0,588 |
|
|
|
P0,4=1*1*0,7 4 =0,0024
P1,4=
*0,3
1
*0,7
3
=0,588
P2,4=
*0,3
2
*0,7
2
=
P3,4=
*0,3
3
*0,7
1
=
P4,4=
*0,3
4
*0,7
0
=
Задача на подсчет вероятностей
Мишень состоит из 4 зон, производится один выстрел.
Найти вероятность промоха, если вероятность попадание в зоны известна и равна:
P 1 =0,1
P 2 =0,15
P 3 =0,20
P 4 =0,25
A - попадание в мишень.
- промах.
Задача на условную вероятность.
В урне находятся 3 белых и 2 черных шара. Вынимаются 2 шара.
Найти вероятность, что оба шара белые.
А 1 - белый шар
А 2 - белый шар
P(A 1 A 2 )=?
C=A 1 A 2
Если первый шар возвращается в урну.
P(A 1 )=P(A 2 )
a=? F(x)=? m
x
=?
