Рассмотрим тело, занимающее пространственную область (рис. 1), и предположим, что плотность распределения массы в этом теле является непрерывной функцией координат точек тела:

Единица измерения плотности - кг/м ³ .

Рис. 1.

Разобьем тело произвольным образом на n частей; объемы этих частей обозначим Выберем затем в каждой части по произвольной точке Полагая, что в, каждой частичной области плотность постоянна и равна ее значению в точке , мы получим приближенное выражение для массы всего тела в виде суммы

В соответствии с этим будем писать

Установим теперь правило для вычисления такого интеграла.

Будем считать, что область интегрирования имеет вид, изображенный на рис. 1).

Опишем около и цилиндрическую поверхность с образующей, перпендикулярной к плоскости Оху. Она касается области вдоль некоторой линии L, которая делит поверхность, ограничивающую область, на две части: верхнюю и нижнюю. Уравнением нижней поверхности пусть будет , уравнением верхней .

Построенная цилиндрическая поверхность высекает из плоскости Оху плоскую область D , которая является ортогональной проекцией пространственной области на плоскость Оху, при этом линия L проектируется в границу области .

Будем производить интегрирование сначала по Направлению оси Оz. Для этого функция интегрируется по заключенному в отрезку прямой, параллельной оси Оz и проходящей через некоторую точку Р(х, у) области D (на рис. 1 отрезок ). При данных х и у переменная интегрирования z будет изменяться от - аппликаты точки “входа” ( ) прямой в область , до - аппликаты точки “выхода” ( ) прямой из области .

Результат интегрирования представляет собой величину, зависящую от точки Р (х, у); обозначим ее через F( х, у):

При интегрировании х и у рассматриваются здесь как постоянные.

Мы получим значение искомого тройного интеграла, если возьмем интеграл от функции F (х, у) при условии, что точка Р(х, у) изменяется по области D, т. е. если возьмем двойной интеграл

Таким образом, тройной интеграл I может быть представлен в виде

Приводя, далее, двойной интеграл по области D к повторному и интегрируя сначала по y, а затем по x, получим

(*)

где и - ординаты точек “входа” в область D и “выхода” из нее прямой (в плоскости Оху), а a и b - абсциссы конечных точек интервала оси Ох, на который проектируется область D .

Мы видим, что вычисление тройного интеграла по области производится, посредством трех последовательных интегрировании.

Формула (*) сохраняется и для областей, имеющих цилиндрическую форму, т. е. ограниченных цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Оz, а снизу и сверху поверхностями, уравнения которых соответственно и (рис. 2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.2

Если областью интегрирования служит внутренность параллелепипеда с гранями, параллельными координатным плоскостям (рис. 3), то пределы интегрирования постоянны во всех трех .интегралах :

В этом случае интегрирование можно производить в любом порядке, пределы интегрирования будут при этом сохраняться.

Если же в общем случае менять порядок интегрирования ( т.е., скажем, интегрировать сначала по направлению оси Oy, а затем по области плоскости Oxz), то это приведёт к изменению порядка интегрирования в тройном интеграле и к изменению пределов интегрирования по каждой переменной.

 

Рис.3 Рис.4

А) Пример.

Вычислим тройной интеграл

где - область, ограниченная координатными плоскостями

и плоскостью (пирамида, изображённая на рис.4).

Интегрирование по z совершается от z=0 до Поэтому, обозначая проекцию области на плоскость Oxy через D, получим

Расставим теперь пределы интегрирования по области D - треугольнику, уравнения сторон которого

 

2. Цилиндрические координаты.

Отнесём область к системе цилиндрических координат , в которой положение точки M в пространстве определяется полярными координатами ее проекции Р на плоскость Oxy и ее аппликатой (z). Выбирая взаимное расположение осей координат, как указано на рис. 5, установим связь, между декартовыми и цилиндрическими координатами точки М, именно:

(*)

 

 

 

 

 

 

 

Рис.5

Разобьем область на частичные области тремя системами координатных поверхностей: которыми будут соответственно круговые цилиндрические поверхности, осью которых является ось Оz, полуплоскости, проходящие через ось Оz, и плоскости, параллельные плоскости Оху. Частичными областями служат прямые цилиндры MN (рис. 5). Так как объем цилиндра MN равен площади основания, умноженной на высоту, то для элемента объема получаем выражение

Преобразование тройного интеграла к цилиндрическим координатам производится совершенно аналогично преобразованию двойного интеграла к полярным. Для этого нужно в выражении подынтегральной функции переменные x, y, z заменить по формулам (*) и взять элемент объёма равным

Получим

Если, в частности, то интеграл выражает объём V области

Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах приводится к интегрированиям по r, по и по z на основании тех же принципов, что и в случае декартовых координат. В частности, если областью интегрирования служит внутренность цилиндра то пределы трехкратного интеграла постоянны и не меняются при перемене порядка интегрирования:

Отнесём теперь область интегрирования к системе сферических координат . В этой системе координат положение точки M в пространстве определяется её расстоянием r от начала координат (длина радиуса-вектора точки), углом между радиусом-вектором точки и осью Oz и углом между проекцией радиуса вектора точки на плоскость Oxy и осью Ox (рис. 6). При этом может изменятся то 0 до а - от 0 до .

 

 

 

 

 

 

Рис.6

Связь между сферическими и декартовыми координатами легко устанавливается. Из рис.6 имеем

Отсюда

(**)

Разобьем область на частичные области , тремя системами координатных поверхностей: которыми будут

 

 

 

 

 

 

 

соответственно сферы с центром в начале координат, полуплоскости, проходящие, через ось Оz, и конусы с вершиной в начале координат и с осями, совпадающими с одной из полуосей Оz. Частичными областями служат “шестигранники” (рис. 7). Отбросив бесконечно малые высших порядков, будем рассматривать шестигранник MN как прямоугольный параллелепипед с измерениями, равными: по направлению полярного радиуса, по направлению меридиана, по направлению параллели. Для элемента объема мы получим тогда выражение

Заменив в тройном интеграле по формулам (**) и взяв элемент объема равным полученному выражению, будем иметь

Особенно удобно применение сферических координат в случае, когда область интегрирование - шар с центром в начале координат или шаровое кольцо. Например, в последнем случае, если радиус внутреннего шара , а внешнего , пределы интегрирования следует расставить так:

Если - шар, то нужно положить

A) Пример.

Вычислим объем шара радиуса R. В этом случае подынтегральную функцию надо взять равной 1, и мы получим

Для вычисления координат центра тяжести тела нужны статические моменты относительно координатных плоскостей Оху, Охz, Оуz; обозначим их соответственно Повторяя рассуждения получим следующие формулы для координат центра тяжести неоднородного тела, плотность которого задается функцией занимающего область :

Если тело однородно, т. е. , то формулы упрощаются:

где V- объём тела.

Пример. Найдем центр тяжести однородного полушара :

Две координаты центра тяжести равны нулю, ибо полушар симметричен относительно оси Оz (тело вращения с осью Оz).

Интеграл удобно вычислить, перейдя к сферическим координатам:

Так как объём полушара равен то

Перейдём к вычислению моментов инерции тела относительно координатных осей. Так как квадраты расстояний от точки P(x, y, z) до осей Ox, Oy, Oz соответственно равны то полагая для простоты получим следующие формулы :

Аналогично плоскому случаю интегралы

называются центробежными моментами инерции.

Для полярного момента инерции формула имеет вид

Если тело неоднородное, то в каждой формуле под знаком интеграла будет находиться дополнительный множитель - плотность тела в точке P.

где М— масса шара.

Так как для сферы моменты инерции относительно осей координат, очевидно, равны между собой, то, учитывая, что получим

Моменты инерции тела относительно оси играют важную роль при вычислении кинетической энергии тела при его вращении около соответствующей оси. Пусть тело вращается около оси Оz с постоянной угловой скоростью . Найдем кинетическую энергию тела. Как известно, кинетическая энергия точки измеряется величиной , где т - масса точки, а - величина ее скорости. Кинетическая энергия системы точек определяется как сумма кинетических энергий отдельных точек, а кинетическая энергия тела - как сумма кинетических энергий всех частей, на которые оно разбито. Это обстоятельство позволяет применить для вычисления .кинетической энергии интеграл.

Кинетическая энергия тела, вращающегося около некоторой оси с постоянной угловой скоростью, равна половине квадрата угловой скорости, умноженной на момент инерции тела относительно оси вращения.

1. А.Ф. Бермант ,И.Г. Араманович.

Краткий курс математического анализа для втузов: Учебное пособие для втузов: - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1971 г.,736с.