Рассмотрим K-мерный интеграл по пространственному параллелепипеду . По аналогии с формулой средних можно приближённо заменить функцию на её значение в центральной точке параллелепипеда. Тогда интеграл легко вычисляется:

(5)

Для повышения точности можно разбить область на прямоугольные ячейки (рис. 2). Приближённо вычисляя интеграл в каждой ячейке по формуле средних и обозначая через соответственно площадь ячейки и координаты её центра, получим:

(6)

Справа стоит интегральная сумма; следовательно, для любой непрерывной она сходится к значению интеграла, когда периметры всех ячеек стремятся к нулю.

Оценим погрешность интегрирования. Формула (5) по самому её выводу точна для . Но непосредственной подстановкой легко убедиться, что формула точна и для любой линейной функции. В самом деле, разложим функцию по формуле Тейлора:

(7)

где , а все производные берутся в центре ячейки. Подставляя это разложение в правую и левую части квадратурной формулы (5) и сравнивая их, аналогично одномерному случаю легко получим выражение погрешности этой формулы:

(8)

ибо все члены разложения, нечётные относительно центра симметрии ячейки, взаимно уничтожаются.

Пусть в обобщённой квадратурной формуле (6) стороны пространственного параллелепипеда разбиты соответственно на N ₁ , N ₂ , …, N _k равных частей. Тогда погрешность интегрирования (8) для единичной ячейки равна:

Суммируя это выражение по всем ячейкам, получим погрешность обобщённой формулы:

(9)

т.е. формула имеет второй порядок точности. При этом, как и для одного измерения, можно применять метод Рунге–Ромберга, но при одном дополнительном ограничении: сетки по каждой переменной сгущаются в одинаковое число раз.

Обобщим формулу ячеек на более сложные области. Рассмотрим случай K=2. Легко сообразить, что для линейной функции формула типа (5) будет точна в области произвольной формы, если под S подразумевать площадь области, а под –координаты центра тяжести, вычисляемые по обычным формулам:

(10)

Разумеется, практическую ценность это имеет только для областей простой формы, где площадь и центр тяжести легко определяется; например, для треугольника, правильного многоугольника, трапеции. Но это значит, что обобщённую формулу (6) можно применять к областям, ограниченным ломаной линией, ибо такую область всегда можно разбить на прямоугольники и треугольники.

Для области с произвольной границей формулу (6) применяют иным способом. Наложим на область сетку из K-мерных параллелепипедов (рис.3). Те ячейки сетки, все точки которых принадлежат области, назовём внутренними ; если часть точек ячейки принадлежит области, а часть – нет, то назовём ячейку граничной . Объём внутренней ячейки равен произведению её сторон. Объёмом граничной ячейки будем считать объем той её части, которая попадает внутрь ; этот объём вычислим приближённо. Эти площади подставим в (6) и вычислим интеграл.

Оценим погрешность формулы (6). В каждой внутренней ячейке ошибка составляет по отношению к значению интеграла по данной ячейке. В каждой граничной ячейке относительная ошибка есть , ибо центр ячейки не совпадает с центром тяжести входящей в интеграл части. Но самих граничных ячеек примерно в раз меньше, чем внутренних. Поэтому при суммировании по ячейкам общая погрешность будет , если функция дважды непрерывно дифференцируема; это означает второй порядок точности.

Вычисление объёма граничной ячейки довольно трудоёмко, ибо требует определения положения границы внутри ячейки. Можно вычислять интегралы по граничным ячейкам более грубо или вообще не включать их в сумму (6). Погрешность при этом будет , и для хорошей точности потребуется более подробная сетка.

Мы видели, что к области произвольной формы метод ячеек трудно применять; поэтому всегда желательно заменой переменных преобразовать область интегрирования в прямоугольный параллелепипед (это относится практически ко всем методам вычисления кратных интегралов).

Снова рассмотрим интеграл по K-мерной области, разбитой сеткой на ячейки (рис. 2). Его можно вычислить последовательным интегрированием:

Каждый однократный интеграл легко вычисляется на данной сетке по квадратурным формулам типа:

Последовательное интегрирование по всем направлениям приводит к кубатурным формулам, которые являются прямым произведением одномерных квадратурных формул:

(11)

Например, при K=2, если по каждому направлению выбрана обобщённая формула трапеций, а сетка равномерная, то веса кубатурной формулы равны соответственно для внутренних, граничных и угловых узлов сетки. Легко показать, что для дважды непрерывно дифференцируемых функций эта формула имеет второй порядок точности, и к ней применим метод Рунге–Ромберга.

Вообще говоря, для разных направлений можно использовать квадратурные формулы разных порядков точности . Тогда главный член погрешности имеет вид:

Желательно для всех направлений использовать квадратурные формулы одинакового порядка точности.

Можно подобрать веса и положение линий сетки так, чтобы одномерная квадратурная формула была точна для многочлена максимальной степени, т.е. была бы формулой Гаусса, тогда, для случая K=2:

(12)

где –нули многочленов Лежандра и соответствующие веса. Эти формулы рассчитаны на функции высокой гладкости и дают для них большую экономию в числе узлов по сравнению с более простыми формулами.

Произвольная область. Метод последовательного интегрирования можно применять к области произвольной формы, например, с криволинейной границей. Рассмотрим этот случай при K=2. Для этого проведём через область хорды, параллельные оси , и на них введём узлы, расположенные на каждой хорде так, как нам требуется (рис. 4). Представим интеграл в виде:

Сначала вычислим интеграл по вдоль каждой хорды по какой-нибудь одномерной квадратурной формуле, используя введённые узлы. Затем вычислим интеграл по ; здесь узлами будут служить проекции хорд на ось ординат.

При вычислении интеграла по имеется одна тонкость. Если область ограничена гладкой кривой, то при длина хорды стремится к нулю не линейно, а как ; значит, вблизи этой точки . То же будет при . Поэтому интегрировать непосредственно по формулам высокого порядка точности бессмысленно. Целесообразно выделить из основную особенность в виде веса , которому соответствуют ортогональные многочлены Чебышева второго рода.

Тогда второе интегрирование выполняется по формулам Гаусса–Кристоффеля:

(13)

где , а и –нули и веса многочленов Чебышева второго рода.

Чтобы можно было применять эту формулу, надо ординаты хорд на рис. 4 заранее выбрать в соответствии с узлами (13). Если это не было сделано, то придётся ограничиться интегрированием по обобщённой формуле трапеций, причём её эффективный порядок точности в этом случае будет ниже второго.

Пусть сначала область интегрирования есть K-мерный пространственный параллелепипед (рис. 5), стороны которого параллельны осям координат. Каждый из промежутков разобьём пополам точками:

, где .

Всего таким образом, получим точек сетки. Имеем:

(14)

Находим K-мерный интеграл, вычисляя каждый внутренний интеграл по квадратурной формуле Симпсона на соответствующем отрезке. Проведём полностью все вычисления для случая K=2:

Применяя к каждому интегралу снова формулу Симпсона, получим:

или

(15)

Формулу (15) будем называть кубатурной формулой Симпсона . Следовательно,

(15ў )

где – сумма значений подынтегральной функции в вершинах прямоугольника , – сумма значений в серединах сторон прямоугольника , – значение функции в центре прямоугольника . Кратности этих значений обозначены на рис. 5.

Если размеры пространственного параллелепипеда велики, то для увеличения точности кубатурной формулы область разбивают на систему параллелепипедов, к каждому из которых применяют кубатурную формулу Симпсона.

Опять рассмотрим случай K=2. Положим, что стороны прямоугольника мы разделили соответственно на и равных частей; в результате получилась относительно крупная сеть прямоугольников (на рис. 6 вершины этих прямоугольников отмечены более крупными кружками). Каждый из этих прямоугольников в свою очередь разделим на четыре равные части. Вершины этой последней мелкой сети прямоугольников примем за узлы кубатурной формулы.

Пусть и . Тогда сеть узлов будет иметь следующие координаты:

и

Для сокращения введём обозначение

Применяя формулу (15) к каждому из прямоугольников крупной сети, будем иметь (рис.6):

Отсюда, делая приведение подобных членов, окончательно находим:

(16)

где коэффициенты являются соответствующими элементами матрицы

Если область интегрирования – произвольная, то строим параллелепипед , стороны которого параллельны осям координат (рис. 83). Рассмотрим вспомогательную функцию

В таком случае, очевидно, имеем:

Последний интеграл приближённо может быть вычислен по общей кубатурной формуле (16).

При написании программ численного интегрирования желательно, чтобы для любой функции распределение узлов являлось оптимальным или близким к нему. Однако в случае резко меняющихся функций возникают некоторые проблемы. Если первоначальная сетка, на которой исследуется подынтегральная функция, частая, то сильно загружается память ЭВМ; если она редкая, то не удаётся хорошо аппроксимировать оптимальное распределение узлов на участках резкого изменения подынтегральной функции. Рассмотрим некоторые из процедур распределения узлов интегрирования, обеспечивающие лучшее приближение к оптимальному распределению узлов для функций с особенностями.

Пусть на элементарном отрезке интегрирования вычисляется приближённое значение интеграла и мера погрешности . Требуется вычислить . Первая процедура, которую естественно назвать горизонтальной , определяется заданием параметров . Полагаем . Предположим, что каким-то образом уже вычислено приближённое значение интеграла . Программа располагает в каждый момент времени некоторым значением , с которым надо начинать считать оставшуюся часть интеграла. Вычисляем величину , соответствующую отрезку . Если оказалось , то вычисляем приближённое значение и полагаем . Мы получили приближённое значение величины . В случае полагаем , в противном случае полагаем . Мы готовы к следующему шагу. Если оказалось , то принимаем за новое значение величины и возвращаемся к исходной позиции: вычислено значение интеграла и задан шаг . Начальные условия для применения процедуры:

Процедура должна также иметь блок окончания работы: если оказалось, что , то следует положить . Установилась практика брать .

Другая процедура, которую можно назвать вертикальной , определяется заданием числа и заключается в следующем. Пусть на каком-то шаге возникает необходимость вычисления интеграла по отрезку разбиения : ; вычисляется величина , соответствующая этому отрезку. Если она оказалась меньше , то этот интеграл вычисляется по соответствующей формуле и программа переходит к следующему справа отрезку разбиения. В противном случае отрезки и объявляются отрезками разбиения, и программа обращается к вычислению интеграла по левому из этих отрезков. В начале работы программа обращается к вычислению исходного интеграла . Некоторым недостатком этой процедуры является необходимость запоминания отрезков разбиения, интегрирование по которым на данный момент не произведено.

1. Бахвалов Н.С. Численные методы. т.1 – М.: Наука. 1975.

2. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1966.

3. Калиткин Н.Н Численные методы. – М.: Наука, 1978.

4. Мусіяка В.Г. Основи чисельних методів механіки. – Дніпропетровськ: Видавництво ДДУ, 1993.

Наложим на область G прямоугольную сетку с шагами и , вследствие чего получим внутреннюю прямоугольную ячейку с площадью и координатами центра и две граничные треугольные ячейки с площадями и координатами центров соответственно , и .

Не учитывая граничные ячейки, получаем: .

Дополнение от граничных ячеек: .

Окончательно получаем:

Расчёт проводился при точности eps=1E-6.

Интеграл равен: 0.221612

Количество ячеек равно 8525.