Условия стационарности точек р ₁ и р ₂ в таком репере имеют соответственно вид: W+ q =0, -W+ q =0.

А ₂ – аффинная плоскость , отнесенная к подвижному реперу R ={ p, ` e <sub>j</sub> }. Деривационные формулы репера R и уравнения структуры плоскости А <sub>2</sub> имеют соответственно вид : dp = W <sup>j</sup> e <sub>j</sub> ; d ` e _j = W _j ^k ;

DW ^j = W ^k ^ W _k ^j ; DW ^j = W _j ^y ^ W _y ^k .

Рассмотрим локальное дифференцируемое отображение f плоскости А ₂ в пространстве R(p ₁ ,p ₂ ):f:A _{2 ®} R(p ₁ ,p ₂ ).

Будем считать , что в каждой точке области определения отображения f выполняется : rang f =2 (1)

Поместим начало Р репера R в точку f ^-1 (p ₁ ,p ₂ ) . Тогда дифференциальные уравнения отображения f запишутся в виде :

Q + W= l _j W ^j ; Q-W= m _j W ^j (2)

Из (1) вытекает , что существует локальное дифференцируемое отображение f ^-1 : R(p ₁ ,p ₂ ) ® A ₂ обратное к f .В указанных реперах дифференциальные уравнения отображения f ^-1 имеют вид :

W ^j = l ^j (Q+W)+ m ^j (Q-W) (3)

Из (2) и (3) получаем :

l ^{k l} _j + m ^{k m} _j = d _j ^k

Указанную пару { r;R } реперов пространств А ₁ и А ₂ будем называть репером нулевого порядка отображения f .

Осуществим продолжение системы (2) дифференциального уравнений отображения f.

D(λ _j W ^j -W-Q)=0 ,

получаем :

dλ _j =λ _k W _j ^k +1\4(λ _j μ _k -λ _k μ _j )W ^k +λ _jk W ^k

получаем :

dμ _j =μ _k W _j ^k +1\4(λ _j μ _k -λ _k μ _j )W ^k +μ _jk W ^k

Итак, продолженная система дифференциальных уравнений отображения f имеет вид:

dμ _j =μ _k W _j ^k +1\4(λ _j μ _k -λ _k μ _j )W ^k +μ _jk W ^j

Из этих уравнений вытекает, что система величин Г ₁ = {λ _j ,μ _j } является геометрическим объектом. Он называется фундаментальным геометрическим объектом первого порядка отображения f. Осуществим второе продолжение системы (2) :

dλ _k ^W _j ^k +λ _k dW _j ^k +1\4(λjμ _k -λ _k μ _j )^W ^k +1\4(λ _j μ _k -λ _k μ _j )dW ^k +dλ _jk ^W ^k +λ _jk dW ^k =0 .

получим:

(dλ _jt -λ _kt W _j ^k -λ _jk W _t ^k +1\4(λ _k μ _jt -μ _k λ _jk )W ^k +1\16λ _t μ _k (λ _j -μ _j )W ^k )^W ^t =0

получим:

(dμ _jt -μ _kt W _j ^k -μ _jt W _t ^k +1\4(λ _k μ _jt -μ _k λ _jt )W ^k +1\16λ _t μ _k (λ _j -μ _j )W ^k )^W ^t =0

обозначим:

Тогда дважды продолженная система дифференциальных уравнений отображения f примет вид:

Q+W=λ _j W ^j

Из уравнений (4) вытекает, что система величин Г ₂ = {λ _j ,μ _j ,λ _jk ,μ _jk } образует геометрический объект. Он называется фундаментальным геометрическим объектом второго порядка отображения f. Дальнейшее продолжение системы (2) приведет к фундаментальному геометрическому объекту Г _Р порядка р :

Г _Р = {λ _j ,μ _j ,λ _j1j2 ,μ _j1j2 ,...,λ _j1j2...jp ,μ _j1j2...jp }.

Из системы дифференциальных уравнений (5) вытекает, что система величин {λ _j },{μ _j } образует подобъекты геометрического объекта Г ₁ . Будем называть их основными ковекторами 1-го порядка. Основные ковекторы определяют для каждой точки P две инвариантные прямые:

λ _j X ^j =1 ; μ _j X ^j =1 (6)

не инцидентные точке Р . Из условия rang f=2 и уравнения (2) вытекает, что прямые (6) не параллельны. Условия (*) показывают, что величины {λ ^j ,μ ^j } являются компонентами матрицы ,обратной к матрице, составленной из координат основных ковекторов. Таким образом , величины {λ ^j ,μ ^j } охватываются объектом Г ₁ .

Из (*) получаем:

dλ ^j =-λ ^k W _k ^j -1\4(λ ^j +μ ^j )μ _t W ^t -λ _kt λ ^k λ ^t W ^t -μ _kt W ^t ^λ ^k μ ^j

Таким образом , система величин и образуют геометрические объекты, охваченные объектом Г ₁ . Будем называть их основными векторами 1-го порядка.

Предположение 2. Основные векторы {λ ^j } и {μ ^j } параллельны прямым (6) соответственно. Доказательство вытекает из формул (*) и (7) . Взаимное расположение рассмотренных векторов и прямых представлено на рисунке:

λ _j X ^j =1

V ₁ μ _j X ^j =1

Система величин ρ _j =λ _j -μ _j образует ковектор: dρ _j =ρ _k W _j ^k +(μ _jk -λ _jk )W ^k .

Определяемая им прямая ρ _j X ^j =0 (8) проходит через точку Р и точку пересечения прямых (6) .

Теорема 1.Прямая (8) является касательной в точке Р к прообразу f ^-1 (W) многообразия W при отображении f .

Доказательство:

] (p ₁ ^* ,p ₂ ^* )∈W и p ₁ ^* =p ₁ +dp ₁ +1\2d ² p ₁ +... ,

p ₂ ^* =p ₂ +dp ₂ +1\2d ² p ₂ +... .

Из (2) получим: W=ρ ₁ W ^j

Следовательно, (р ₁ ^* р ₂ ^* )∈W равносильно ρ _j W ^j =0 (9)

Из (8) и (9) вытекает доказательство утверждения.

В дальнейшем эту функцию будем называть относительной длиной. Т.о., линия f ^-1 (W) является линией уровня функции h . Заметим, что (9) является дифференциальным уравнением линии f ^-1 (W) .

]W ₁ ,W ₂ - одномерные многообразия в R(p ₁ p ₂ ) , содержащие элемент (р ₁ р ₂ ) и определяемые соответственно уравнениями:

(p ₁ ^* ,p ₂ ^* )єW ₂ ↔p ₁ ^* =p ₁ .

Следующая теорема доказывается аналогично теореме 1.

Теорема 2. Прямая (7) является касательной в точке P к прообразу многообразия W ₂ (многообразия W ₁ ) при отображении f .

Дифференциальные уравнения линии f ^-1 (W ₁ ) и f ^-1 (W ₂ ) имеют соответственно вид:

λ _j W ^j =0

μ _j W ^j =0 .

Пусть W ₀ - одномерное подмногообразие в R(p ₁ p ₂ ) , содержащее (р ₁ р ₂ ) и определяемое условием: (p ₁ ^* p ₂ ^* )єW ₀ ↔Q*=Q ,где Q* – середина отрезка р ₁ ^* р ₂ ^* . Следующее утверждение доказывается аналогично теореме 1.

Теорема 3.Прямые, касательные в точке Р к многообразиям f ^-1 (W ₁ ), f ^-1 (W ₂ ) , f ^-1 (W), f ^-1 (W ₀ ) составляют гармоническую четверку.

Доказательство вытекает из (7),(8),(10).

Рассмотрим отображения:

П ₁ : (р ₁ ,р ₂ )∊R(p ₁ ,p ₂ )→p ₁ ∊A ₁ (5.1)

П ₂ : (р ₁ ,р ₂ )∊R(p ₁ ,p ₂ )→p ₂ ∊A ₁ (5.2)

Отображение f: A ₂ →R(p ₁ ,p ₂ ) порождает точечные отображения:

φ ₁ =П ₁ ∘f: A ₂ →A ₁ (5.3)

В репере нулевого порядка дифференциальные уравнения отображений φ ₁ и φ ₂ меют соответственно вид (2.5 а) и (2.5 б) . Подобъекты Г _1,2 ={ λ _j ,λ _jk } и Г _2,2 = {μ _j ,μ _jk } объекта Г ₂ являются фундаментальными объектами второго порядка отображений φ ₁ и φ ₂ .

В работе <4> доказано, что разложение в ряд Тейлора отображений имеет соответственно вид:

x=1+λ _j X ^j +1/2λ _jk X ^j X ^k +1/4λ _y ρ _k X ^j X ^k +<3>, (5.5)

Введем системы величин:

Λ _jk =λ _jk +1/4(λ _j ρ _k +λ _k ρ _j ),

Тогда формулы (5.5) и (5.6) примут соответственно вид:

x=1+λ _j X ^j +1/2Λ _jk X ^j X ^k +<3> (5.7)

В <4> доказано, что существует репер плоскости А ₂ , в котором выполняется:

λ ₁ λ ₂ 1 0

Этот репер является каноническим.

Таким образом, в каноническом репере Якобиева матрица отображения f является единичной матрицей.

Формулы (5.7) и (5.8) в каноническом репере примут вид:

Рассмотрим систему величин:

G _jk =1/2(λ _j μ _k +λ _k μ _j )

Из (3.1) получим:

dG _jk =1/2(dλ _j μ _k +λ _j μ _k +dλ _k μ _j +λ _k dμ _j )=1/2(μ _k λ _t W _j ^t +1/4λ _j μ _k μ _t W ^t -1\4μ _k μ _t λ _t W ^t +μ _k λ _jt W ^t +λ _j μ _t W _k ^t +

+1/4λ _j λ _k μ _t W ^t -1/4μ _j λ _k μ _t W ^t -1/4μ _j λ _t μ _k W ^t +μ _j λ _kt W ^t +λ _k μ _t W _j ^t +1/4λ _k λ _j μ _t W ^t -1/4λ _k λ _t μ _j W ^t +

+λ _k μ _jt W ^t ),

dG _jk =1/2(μ _k λ _t + λ _k μ _t )W _j ^t +1/2(λ _j μ _t +λ _t μ _j )W _k ^t +G _jkt W ^t ,

где G _jkt =1/2(μ _k λ _jt +λ _y μ _kt +μ _j λ _kt +λ _k μ _jt -1/2μ _j μ _k λ ^t +1/2λ _j λ _k μ _t -1/4λ _j μ _k λ _t +1/4λ _j μ _k μ _t +1/4μ _j λ _k μ _t -

-1/4μ _j λ _k λ _t ) (6.3).

Таким образом, система величин {G _jk } образует двухвалентный тензор. Он задает в А ₂ инвариантную метрику G :

dS ² =G _jk W ^j W ^k (6.4)

Из (6.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6.4) соответствует при отображении f метрике dS ² =θ ² -W ² (6.5) в R(p ₁ ,p ₂ ).

Из (6.5) вытекает, что метрика G является псевдоримановой метрикой.

Асимптотические направления определяются уравнением G _jk W ^j W ^k =0 или

Предложение : Основные векторы V ₁ и V ₂ определяют асимптотические направления метрики G.

Б. А. Розенфельдом изучалась инвариантная метрика в пространстве нуль-пар. На проективной прямой нуль-парой является пара точек. Для двух пар точек (x,U) и (y,U ^’ ) расстояние между ними определяется как двойное отношение W=(xy,UU ^’ )

Теорема : Метрика dS ² =θ ² -W ² совпадает с метрикой Розенфельда .

Доказательство: В репере r имеем для координат точек p ₁ ,p ₂ ,p ₁ +dp ₁ ,p ₂ +dp ₂

Соответственно: 1,-1,1+θ+W,-1+θ-W .

Рассмотрим систему величин:

g _jk =λ _j λ _k +μ _j μ _k (7.1)

Из (3.1) получаем:

dg _jk =dλ _j λ _k +dλ _k λ _j +dμ _j μ _k +dμ _k μ _j =λ _k λ _t W _j ^t +1/4λ _k λ _j μ _t W ^t -1/4λ _j λ _t μ _j W ^t +λ _k λ _jt W ^t +λ _j λ _t W _k ^t +

+1/4λ _j λ _k μ _t W ^t -1/4λ _j λ _t μ _k W ^t +λ _j λ _kt W ^t +μ _k μ _t W _j ^t +1/4μ _k λ _j μ _t W ^t -1/4μ _k λ _t μ _j W ^t +μ _k μ _jt W ^t +

+μ _j μ _t W _k ^t +1/4μ _j λ _k μ _t W ^t -1/4μ _j λ _t μ _k W ^t +μ _j μ _kt W ^t .

где g _jkt =1/2λ _j λ _k μ _t -1/2μ _j μ _k λ _t -1/4λ _k λ _t μ _j -1/4λ _j λ _t μ _k +1/4λ _j μ _k μ _t +1/4μ _j λ _k μ _t +λ _k λ _jt +λ _j λ _kt +

Таким образом, система величин {g _jk } образует двухвалентный тензор. Он задает в А ₂ инвариантную метрику g :

dS ² =g _jk W ^j W ^k (6 ^’ .4)

Из (7.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6 ^’ .4) соответствует при отображении f метрике:

dS ² =2(θ ² +W ² ) (6 ^’ .5)

в R(p ₁ ,p ₂ )

Из (6 ^’ .5) вытекает, что метрика g является римановой метрикой.

Единичная окружность, построенная для точки Р определяется уравнением:

GjkXjXk=1 (6 ^’ .6)

или (λ _j X ^j ) ² +(μ _j X ^j ) ² =1 (6 ^’ .7)

Из (6 ^’ .7) вытекает:

Предложение 7.1: Единичная окружность метрики g с центром в точке Р является эллипсом, касающимся в концах основных векторов прямых, параллельных этим векторам.

Заметим, что сформулированное здесь свойство единичной окружности полностью определяет эту окружность, а следовательно и метрику g .

V ₁

Пусть g ^jk =λ ^j λ ^k +μ ^j μ ^k (6.8)

В силу (2.7) имеем:

g ^jt g _tk =(λ ^j λ ^t +μ ^j μ ^t )(λ _t λ _k +μ _t μ _k )=λ ^j λ ^k +μ ^j μ ^k =δ _k ^j (6 ^’ .9)

Таким образом, тензор g ^jk является тензором взаимных к g _jk . Как известно, метрика ставит в соответствие каждому векторному полю поле ковектора и наоборот.

Предложение 7.2: Поле основного вектора {λ ^j } (вектора {μ ^j } ) соответствует в метрике g полю основного ковектора {λ _j } (ковектора {μ _j } ).

Доказательство: Основные векторы ортогональны друг другу и имеют единичную длину в метрике g .

Доказательство:

λ ^j λ ^k g _jk =λ ^j λ ^k λ _j