Решить численно задачу Дирихле для уравнения Лапласа :

(x,y)D; u | _Г =xy ² =f(x,y) ;

область D ограничена линиями: x=2 , x=4 , y=x , y=x+4 ;

(x ₀ , y ₀ ) = (3, 5) .

Следует решить задачу сначала с шагом по x и по y : h=0.2, потом с шагом h=0.1 . Точность решения СЛАУ =0.01 .

Поставленная задача решается численно с помощью программы, реализующей метод сеток , разработанный для численного решения задачи Дирихле для уравнений эллептического типа.

Программа написана на языке C++ , в среде Borland C++ версии 3.1. Ниже описан алгоритм работы этой программы.

1. На первом шаге область D дискретизируется. Она заменяется на область D _h путем разбиения области D параллельными прямыми по следующему правилу: y _i =y ₀  ih, x _j =x ₀  ih , i,j=0,1,2…. PР. Разбиение производится до тех пор, пока текущая прямая не будет лежать целиком вне области D. Получается множество точек (x _i ,y _j ).

2. За область D _h принимают те точки множества (x _i ,y _j ) , которые попали внутрь области D, а также дополняют это множество граничными точками.

3.Во всех точках области D _h вычисляются значения функции f(x _i ,y _j ) .

4. За область D _h * принимаются все внутренние точки области D _h , т.е. удовлетворяющие требованию:

(x _i ,y _j ) D _h * , если (x _i+1 ,y _j )  D _h , (x _i-1 ,y _j ) D _h , (x _i ,y _j+1 ) D _h , (x _i ,y _j-1 ) D _h .

5. Во всех точках области D _h * вычисляется функция F _(N) *[i,j] ( индекс N обозначает номер итерации, на которой производится вычисление):

F _(N) *[i,j]=(f(x _i+1 ,y _j ) + f(x _i-1 ,y _j ) + f(x _i ,y _j+1 )f(x _i ,y _j-1 ))/4

6. Теперь если max | F _(N+1) *[i,j] - F _(N) *[i,j]|< ,взятый по всем точкам области D _h * ,то задача решена;

если нет , то выполнять шаг 5 ( пересчитывать функцию F _(N) *[i,j] через значения F _(N-1) *[i,j]) до тех пор, пока не выполнится указанное условие.

#include <stdio.h>

#include <fstream.h>

#include <conio.h>

#include <iostream.h>

#include <math.h>

int i,j,k; // Variables

float h,x,y,tmp,E1;

struct point {

float xx;

float yy;

int BelongsToDh_;

int BelongsToDh;

float F;

float F_;

} p0,arrayP[13][33];

float arrayX[13];

float arrayY[33];

float diff[500];

void CreateNet(void); // Procedure Prototypes

int IsLineFit(float Param);

void CrMtrD(void);

void RegArrayX();

void RegArrayY();

void CreateDh_();

int IsFit(point Par);

void FillF();

void CreateDh();

int IsInner(int i,int j);

void FillF_();

void CountDif();

void MakeFile();

void main(void) //MAIN

{

clrscr();

p0.xx = 3;

p0.yy = 5;

h = 0.2;

p0.BelongsToDh_=1;

p0.BelongsToDh=1;

CreateNet();

RegArrayX();

RegArrayY();

CrMtrD();

CreateDh_();

FillF();

CreateDh();

FillF_();

CountDif();

while (E1>=0.005) {

for(i=0;i<13;i++)

for(j=0;j<33;j++) arrayP[i][j].F=arrayP[i][j].F_;

FillF_();

CountDif();

}

cout<<(0-arrayP[7][17].F_);

MakeFile();

getchar();

} //MAIN END

int IsLineFit(float par,char Axis) // does the line belong to the defined area

{

switch(Axis) {

case 'y': if ((par>8.0) || (par<2.0)) return 1;

else return 0;

case 'x': if (par<1.9) return 1;

else if (par>4.0) return 1;

else return 0;

}

}

void CreateNet(void) // Creation of Net (area D )

{

x = p0.xx;

i=0;

arrayX[i]=x;

while (!IsLineFit(x,'x'))

{

x += h;

i++;

arrayX[i] = x;

}

x = p0.xx-h;

i++;

arrayX[i]=x;

while (!IsLineFit(x,'x'))

{

x -= h;

i++;

arrayX[i] = x;

}

for (i=0;i<13;i++) { printf("%g ",arrayX[i]); }

printf("\n");

y = p0.yy;

i = 0;

arrayY[i]=y;

while (!IsLineFit(y,'y'))

{

y += h;

i++;

arrayY[i] = y;

}

y = p0.yy - h;

i++;

arrayY[i]=y;

while (!IsLineFit(y,'y'))

{

y -= h;

i++;

arrayY[i] = y;

}

for(i=0;i<33;i++) { printf("%g ",arrayY[i]);}

printf("\n");

} // end CreateNet

void RegArrayX() // Regulation of arrays X & Y

{

int LastUnreg = 13 ;

while (LastUnreg != 0) {

for(i=0;i<LastUnreg-1;i++) {

if (arrayX[i]>arrayX[i+1]) {double tmp=arrayX[i];

arrayX[i]=arrayX[i+1];

arrayX[i+1]=tmp;}}

LastUnreg=LastUnreg-1; }

for (i=0;i<13;i++) { printf("%g ",arrayX[i]);

} printf("\n");

}

void RegArrayY()

{

int LastUnreg = 33 ;

while (LastUnreg != 0) {

for(i=0;i<LastUnreg-1;i++) {

if (arrayY[i]>arrayY[i+1]) { tmp=arrayY[i];

arrayY[i]=arrayY[i+1];

arrayY[i+1]=tmp;}}

LastUnreg=LastUnreg-1; }

for (i=0;i<33;i++) { printf("%g ",arrayY[i]); }

printf("\n");} // End of Regulation

void CrMtrD(void) //Create general Matrix

{

for(i=0;i<13;i++)

for(j=0;j<33;j++) {arrayP[i][j].BelongsToDh_=0;

arrayP[i][j].BelongsToDh=0;}

for(i=0;i<13;i++)

for(j=0;j<33;j++) {

arrayP[i][j].xx=arrayX[i];

arrayP[i][j].yy=arrayY[j];

}

// printf("%g %g",arrayP[12][0].xx,arrayP[12][0].yy);

// printf("\n");

}

int IsFit(point Par) //does point belong to area D?

{

if ((Par.xx<=4) && (Par.xx>=1.99) && (Par.yy>=Par.xx)

&& (Par.yy<=Par.xx+4)) return 1;

else return 0;

}

void CreateDh_(void) //Create area Dh_

{

for(i=0;i<13;i++)

for(j=0;j<33;j++)

if (IsFit(arrayP[i][j])) arrayP[i][j].BelongsToDh_=1;

cout << arrayP[1][1].BelongsToDh_<< "\n";

cout << arrayP[1][1].xx << " " << arrayP[1][1].yy<<"\n";

}

void FillF(void) // calc function F(x,y) at area Dh_

{

for(i=0;i<13;i++)

for(j=0;j<33;j++)

if (arrayP[i][j].BelongsToDh_==1)

arrayP[i][j].F=arrayP[i][j].xx*pow(arrayP[i][j].yy,2);

else arrayP[i][j].F=0;

}

int IsInner(int i,int j) //Is point inner?

{

if ((arrayP[i-1][j].BelongsToDh_==1) &&

(arrayP[i+1][j].BelongsToDh_==1) &&

(arrayP[i][j+1].BelongsToDh_==1) &&

(arrayP[i][j-1].BelongsToDh_==1)) return 1;

else return 0;

}

void CreateDh(void) //Create area Dh

{

for(i=0;i<13;i++)

for(j=0;j<33;j++)

if ((arrayP[i][j].BelongsToDh_==1) &&

IsInner(i,j))

arrayP[i][j].BelongsToDh=1;

}

void FillF_() //calc new appr. values of F

{

for(i=0;i<13;i++)

for(j=0;j<33;j++) {

if (arrayP[i][j].BelongsToDh==1)

arrayP[i][j].F_=(arrayP[i-1][j].F+arrayP[i+1][j].F+

arrayP[i][j-1].F+arrayP[i][j+1].F)/4;

else arrayP[i][j].F_=0; }

}

void CountDif() // find maximal difference abs(F-F_)

{

k=0;

for(i=0;i<13;i++)

for(j=0;j<33;j++)

{ if (arrayP[i][j].BelongsToDh==1) {

diff[k]=fabs(arrayP[i][j].F_-arrayP[i][j].F);

k++;}}

E1=diff[0];

for (k=1;k<500;k++) {

if (diff[k]>E1) E1=diff[k];}

}

void MakeFile()

{

ofstream f;

FILE *f1=fopen("surf.dat","w1");

fclose(f1);

f.open("surf.dat",ios::out,0);

for(i=0;i<13;i++)

for(j=0;j<33;j++) { if (arrayP[i][j].BelongsToDh==1) {

f<<arrayP[i][j].xx<<" "<<arrayP[i][j].yy<<

" "<<arrayP[i][j].F_<<"\n";}}

f.close() ;

}

РИС.1 шаг h=0.2

РИС.2 шаг h=0.1

Функция f(x,y) является неотрицательной в области D. Полученное решение лежит целиком над плоскостью XOY . Для данного решения выполняется принцип максимума.