Среди простых чисел особую роль играют простые числа Мерсенна - числа вида 1)М _р = 2 ^р -1 , где р - простое число. Они называются простыми числами Мерсенна по имени французского монаха Мерена Мерсенна (1588-1648), одного из основателей Парижской Академии наук, друга Декарта и Ферма. Так как М ₂ =3, М ₃ =7, М ₅ =31, М ₇ =127 , то это - простые числа Мерсенна. Однако, число 2)М ₁₁ =2047=23 ^. 89 простым не является. До 1750 года было найдено всего 8 простых чисел Мерсенна: М ₂ , М ₃ , М ₅ , М ₇ , М ₁₃ , М ₁₇ , М ₁₉ , М ₃₁ . То, что М ₃₁ - простое число, доказал в 1750 году Л. Эйлер. В 1876 году французский математик Эдуард Люка

установил, что число

3)М ₁₂₇ =170141183460469231731687303715884105727

- простое. В 1883 г. Сельский священник Пермской губернии И.М.Первушин без всяких вычислительных приборов доказал, что число М ₆₁ =2305843009213693951 является простым. Позднее было установлено, что числа М ₈₉ и М ₁₀₇ - простые. Использование ЭВМ позволило в 1952-1964 годах доказать, что числа М ₅₂₁ , М ₆₀₇ , М ₁₂₇₉ , М ₂₂₀₃ , М ₂₂₈₁ , М ₃₂₁₇ , М ₄₂₅₃ , М ₄₄₂₃ , М ₂₆₈₉ , М ₉₉₄₁ , М ₁₁₂₁₃ - простые. К настоящему времени известно уже более 30 простых чисел Мерсенна, одно из которых М ₂₁₆₀₉₁ имеет 65050 цифр. Большой интерес к простым числам Мерсенна вызван их тесной связью с совершенными числами.

Натуральное число Р называется совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей кроме Р .

Евклид доказал, что если р и 2 ^р -1 - простые числа, то число 4)Р _р =2 ^р-1 (2 ^р -1)=2 ^р-1 М _р является совершенным.

Действительно, делителями такого числа, включая само это число, являются 5)1,2, ... ,2 ^р-1 ,М _р ,2М _р , ... ,2 ^р-1 М _р .

Их сумма S _p =(1+2+ ... +2 ^р-1 )(М _р +1)=(2 ^р -1) ^. 2 ^р =2 ^. 2 ^р-1 М _р . Вычитая из S само число Р _р , убеждаемся, что сумма всех делителей числа Р _р равна этому числу, следовательно Р _р - совершенное число.

Числа Р ₂ =6 и Р ₃ =28 были известны ещё пифагорейцам. Числа Р ₅ =496 и Р ₇ =8128 нашел Евклид. Используя другие простые числа Мерсенна и формулу 4, находим следующие совершенные числа:

6)Р ₁₃ =33550336, Р ₁₇ =8589869056, Р ₁₉ =137438691328, Р ₃₁ =2305843008139952128.

Для всех остальных чисел Мерсенна числа Р _р имеют очень много цифр.

До сих пор остаётся загадкой, как Мерсенн смог высказать правильное утверждение, что числа Р _17, Р _19, Р ₃₁ являются совершенными. Позднее было обнаружено, что почти за сто лет до Мерсенна числа Р _17, Р ₁₉ нашел итальянский математик Катальди - профессор университетов Флоренции и Болоньи. Считалось, что божественное провидение предсказало своим избранникам правильные значения этих совершенных чисел. Если учесть, что ещё пифагорейцы считали первое совершенное число 6 символом души, что второе совершенное число 28 соответствовало числу членов многих учёных обществ, что даже в двенадцатом веке церковь учила: для спасения души достаточно изучать совершенные числа и тому, кто найдёт новое божественное совершенное число, уготовано вечное блаженство, то становится понятным исключительный интерес к этим числам.

Однако и с математической точки зрения чётные совершенные числа по-своему уникальны. Все они - треугольные. Сумма величин, обратных всем дилителям числа, включая само число, всегда равна двум. Остаток от деления совершенного числа, кроме 6, на 9 равен 1. В двоичной системе совершенное число Р _р начинается р единицами, потом следуют р-1 нулей. Например:

7)Р ₂ = 110, Р ₃ = 11100, Р ₅ = 111110000, Р ₇ =1111111000000 и т.д.

Последняя цифра чётного совершенного числа или 6, или 8, причём, если 8, то ей предшествует 2.