Электростатика.
Способность к электризации. - способность тел притягивать к себе предметы.
Эти тела оказ. заряженными.
Q=ne Q - заряд тела n=1,2,...
Заряды приобретаемые при электризации всегда кратны е и заряды явл. дискретными.
Сущ. три способа электризации тел.
1) Электризация через трение - трибоэлектризаия.
2) Электризация наведением (явление электростатической индукции).
3)Электризация с помощью электритирования.
Электрическ. заряды сохр. на заряженных телах различное время в зависемости от способа электризации в1) и 2) - короткое время , 3) - годы и десятки лет.
В замкгутой системе электриз тел (нет обмена зарядами с внешними телами) алгебраическая сумма эл. зарядов остается постояной при любых процессах происходящих в этой системе.
SQ i =const i
Точечный заряд это физич. абстракция.
Точечным зарядом принято называть заряж. тело розмера которого малы по сравнению с расст. до точки исследования.
Одноименные заряды отталкиваются, разноименные притягиваются.
Зак. Куллона.
Сила взаимодействия междуточечными неподвиж зарядами q 1 и q 2 прямопропорцианальны величине этих зарядов и обратно пропорц. расст. между ними.
F=kґ((q 1 q 2 )/r 2
k=1/4pe 0 e 0 =8,85ґ10 -12 Ф/M
e 0 - фундоментальная газовая постоянная назв газовой постоянной.
k=9109 M/Ф
Зак. Куллона (в другом виде)
F=(1/4pe 0 )ґзq 1 q 2 з/r 2
вакуум e=1
F=(1/4pe 0 )ґзq 1 q 2 з/er 2
для среды e№1
Если точечн. заряд поместитьв однородн. безгранич.среду куллоновская сила уменьшится в e раз по сравнению с вакуумом. e - диэлектр. проницаемость среды.
У любой среды кроме вакуума e>1.
Зак. Куллона в векторной форме.
Для этого воспользуемся единичным ортом по направлению вдоль расстояния между двумя зарядами.
_ _ _ _
e r =r/r r =e r ґr
_ _
F=(1/4pe 0 )ґ(зq 1 q 2 зґr)/r 3 векторная форма
В Си - сист единица заряда 1Кл=1Аґс
1Куллон - это заряд, протекаемый за 1 с через все поперечное сечение проводника, по которому течет ток А с силой 1А.
Зак.Куллона может быть применен для тел значительных размеров если их разбить на точечные заряды.
Кулл. силы - центральные, т.е. они направлены по линии соед. центр зарядов.
Зак. Куллона справедлив для очень больших расстояний до десятков километров. При уменьш. расст. до 10 -15 м справедлив, при меньших несправедлив.
Электростатич. поле.
Хар. электростатич.поля.
_ _
(Е, D, j)
В пространстве вокруг эл. зарядов возникает электростатическое поле (заряды не подвиж.).
Принято считать, что электростатическое поле является объективной реальностью. Обнаружить поле можно с помощью пробных электрических зарядов.
Пробн., полож., точечный заряд должен быть таким, чтобы он не искажал картины иследуемого поля.
Напр. электростатич. поля.
Е - напряженность электростатического поля. Напряженность электростатического поля является силовой характеристикой.
Напр. поля в данной Е=F/q 0 точке пространства явл. физ. вел. численно равная силе (куллоновск.) действ. в данной точке на единичный неподвижный пробный заряд.
[E]=H/Кл [E]=В/м
Силовая линия - линия, в каждой точке которой напр. поля Е направлена по касательной.
Силовые линии строят с опред. густотой соответствующей модулю напр. поля: через площадку 1 м 2 проводят количество линий Е равное модулю Е.
При графическом представлении видно, что в местах с более густым располож. Е напр. больше.
Вывод формул для напр. поля точечн. заряда.
q - заряд создающий поле.
q 0 - пробн. заряд.
Е=(1/4pe 0 )ґ(qґq 0 )/(r 2 ґq 0 )
E=(1/4pe 0 )ґq/r 2
Из E=(1/4pe 0 )ґq/r 2 следует что Е зависет прямопропорцианально величине заряда и обратнопропорц. расст. от заряда до т. исследов.
В однородн. безгр. среде с e№1
(e>1) напр. поля уменьш. в e раз.
E=(1/4pe 0 )ґq/er 2
_
E=(1/4pe 0 )ґq 2 /r 3
Электрическое смещение.
Опред. формулой для D явл. следущее в данной т. среды электрическое смещение численно равно произвед. диэлектр. проницаемости, эл. постоянн. и напр. поля.
_
D E D=ee 0 E
[D]=Кл/м 2
Напр. эл. поля завсет от e среды поэтому при наличии несколбких граничащих диэлектриков на границе разрыва двух сред напр. поля меняется скачком (линии
вектора Е терпят разрыв).
Вектор D не завис. от e среды т.е. явл. однаков. по величине
во всех средах т.е. скачка D нет , разрыва нет.
Покажем что D независ от e.
D=ee 0 ґ(kq)/(e 0 ґr 2 )
D=(1/4p)ґq/(eґr 2 )
Потенцеал поля.
Силы электростатич. поля консервативные т.е. независ. от траэктории движения заряда.
F=- gradП
F x = -¶П/¶x аналогич F y и F z
1) F= - dП/dr
Для электростатич. сил F=f(r).
Воспользуемся этой зависемостью для введения третей характеристики поля - потенцеала.
Преобр. 1)
2) dП= - Fdr F - куллоновская сила взаимодействия между двумя точечн. зарядами q и q 0 .
F=k(чqq 0 ч/r 2 ) Подставим F в 2) и проинтегрируем лев. и прав. часть.
3) тdП=т -k(чqq 0 ч/r 2 )dr из 3)
П= -kчqq 0 чтdr/r 2 =
=kчqq 0 чґ(1/r)+C
Разделим лев. и прав. часть 4) на q 0 .
5) j=П/q 0 =(1/4pe 0 )ґ(q/r)+C
6) j=П/q 0 Потенцеал поля в данной точке численно равен потенцеальной энерии пробного заряда помещенного в данную точку.
[j]=B=Дж/К
7) j=(1/4pe 0 )ґ(q/r) при j=0 r®Ґ , j ~ d при r=const ,
j ~1/r при q=const
При q>0 j>0 +
При q<0 j<0 -
Потенцеал поля принято изображать на рис. эквипотенцеальными линиями или поверх.
Эквипотенцеал - геом. место точек равного потенцеала поля.
Принято эквипотенцеал проводить при Dj =const
Dj=j 2 - j 1 - разность между двумя ближайшеми эквипотенцеалами.
Вывод:
_ _ _ _
D=e 0 E DE
E=(1/4pe 0 )ґ(q/r 2 ) D=q/4pr 2
Картина линий Е эквипотенц. поля точечн. заряда.
(для ваку-
ума)
Е или D Dj=const
ѕ линии D или Е
--- экви.
Нарисуем линии E и D при наличии диэлектрика.
Диэлектрк окружен вакуумом.
В диэл. e>1 E д <E в поскольку
e д <e в
Для D линий разрыв. нет т.е. D чертят сплошной линией.
Принцип суперпозиции электростатич. полей.
Принцип суперпоз. для Е.
Пусть в пространстве имеется несколько точечн. зарядов q 1 , q 2 , ..., q i , ..., q n внесем в это поле пробный заряд q 0 найдем силу действия наq 0 .
Согласнопринципу независемости действия сил результ. сила F действ. но q 0 равна геом. сумме всех куллоновских сил действ. на q 0 со стор. других зарядов.
_ n _
F= S F i 1)
i=1
Разделим лев. и прав. часть 1) на q 0 .
_ n _ _ _
F/q0= S F i /q 0 E=F/q 0
i=1
_ n _
F/q0= S E матем запись прин-
i=1
ципа супер. для Е.Напряженность результ. поля созд несколькими точечн. зарядами = геом. сумме напр. полей созд. в этойже точке отдельными зарядами.
_
Принцип суперпоз. для D.
_ n _
D=S D i 3) (аналог 2))
i=1
Для потенцеала.
n
j =Sj i
i=1
Потенцеал результ. поля в данной точке = алгебр. сумме потонц. полей созд. отдельными зарядами.
Поля диполя.
Эл. диполем - назв. систему двух равных по модулю разноименн. точечн. зар. наход на расст. l друг от лруга значительно < расст. r до исслед. точки. (l <<r)
Диполь характеризуется плечом диполя и электрич. моментом.
Плечо диполя - расст. между зарядами.
Элекрич. момент - произв. вел. заряда на плечо. [p]=Клґм
Вычислим поле в т. А на оси диполя.
e=1 , q + =q _ =q , l , p=ql, E - ?
_ _
E=SE i
i
_ _E=E _ - E + EE _
E=k(q/(r+l/2) 2 )
E=k(q/(r - l/2) 2 )
E=kq[(1/(r - l/2) 2 ) -1/(r+l/2) 2 )]
E=[kq(r 2 +rl+l 2 /4 - r 2 +
+rl - l 2 /4)]/
/r 4 =(пренебрег. l/2 т.к. r>>l , r>>l/2)=(kq2rl)/r 4 =k(qp/r 3 )
E=k(2p/r 3 ) E~1/r 3
Поле в т. С на перпендик. оси диполя.
k, q, l, r>>l, p=ql, e=1 , r=OC
E - ?
_
чEч=2П р. Е +
Е + =Е _ в силу симметрии зар.
Е + =Е _ =k(q/(rў) 2 )
E + /E _ =cosa=l /2rў
П р. Е + =П р. Е _ =Е(l /2)
E=2П р. Е + =2П р. Е
П р. Е + =Е + сosa=(kq/(rў) 2 )ґ
ґl/2rў
_
П р .Е + /E + =cos aE +
rў~r при r>>l
E=2(kq/(rў) 2 )ґl=kql /(rў) 3 =
=kp/r 3
(неправильно)
E=k(p/r 3 )
_ _
Потоки D и Е.
Пусть электростатическое поле будет однородно т.е. такое поле у котор. D=const и все линии поля пп по направлению , введ. в это поле плоск. поверхность площадью S, строем нормаль.
П р. D=D n cosa
поток D F D =DcosaґS
1) F D =D n cosa
Потоком D или E назв. физ. вел. числ. = кол - ву. Линий D или Е пронизывающих исследуемую поверхность при условии D или Е ^ поверхности.
F Е =Е n S 2)
[F D ]=Кл [F Е ]=Вґм
Поток характеристика скалярная, алгебраическая.
При a<90 0 cosa (+) F D >0
При a<90 0 cosa (-) F D <0
Запишем общую формулу в случ. когда S имеет произв. форму.
В током случае на поверх S наход. участок площадью dS котор. можно считать плоским, тогда dF D =D n ґdS
F D =тD n dS
S
Площадке dS припис. векторные свойства.
_ _
dS=dSґn
_ _
F D =т D n dS
S
Теор. Гаусса (интегральная форма).
В ряде случаев принцип суперпоз. для вычисления напр. поля применять трудно, в таких случ. напряженность электростатич. поля вычисляют с помощью теор. Гаусса.
Теор. Гаусса позволяет легко вычислять Е и D при симметричных расположениях заряда.
Поток вектора электрич. _
смещения D cквозь произвольн. замкн. поверх. S равен алгебраич. сумме зарядов заключ. внутри поверх.
Замкнутая поверх - такая вкотор нет отверстий.
Алгебр. сумма - сумма заряда с учетом их знаков.
_ _ n
ƒDdS=Sq i 1)
S i=1
_ _
ƒEdS=(1/e 0 )Sq i 2)(для вакуума)
S i
Док - во.
1. Пусть имеется полож. точечн. заряд. q .
ƒDdS=ƒDdS
S S
Dn a=0 D n =D
Вынесем за знак интегр.
DƒdS=D4pr 2 =(q/4pr 2 )ґ4pr 2 =q
S
3) ƒDdS=q S
Очевидно если точечн. зар. расп. не в центре а в люб. т внутри поверх. S колич. линий
D прониз. поверх. не измен. , т.е. для люб. положения точечн. заряда q внутри сферы формула 3) справедлива.
Поток сквозь поверх. другой формы (произвол.) при прежнем заряде q не изменится и 3) справедлива.
Внутри замкн. сферы нах. несколько зарядов q 1 , q 2 ,q 3 , ...,q i ,...q n 1Ј i Јn
Докажем что в этом случ. теор. Гаусса верна.
На основ. 1)
для кажд
зар. теор.
справедлива.
4) ƒD i dS=qi S
в 4) просуммируем левую и правую часть.
SƒD i dS=Sq i i i
ƒ(SD i )dS=Sq i s i i
ƒDdS=Sq i 5) s i
Форма записи 5) имеет назв. интегральной формы записи.
Интегр. форм. - обознач. что в формуле характеристики слева и справа относятся к разным точкам пространства.
r - об. плотность.
r =dq/dv (Кл/м 3 )
6)Sq i =т r dv i v
ƒDdS=ò r dv S и V - v согласованны.
Практич. применение теор. Гаусса.
Методика применения теоремы.
Дано:
Шар , e ш № 0 , e ш >0 , e ш =e , e cp =1 , r =const , R - радиус шара 1) r>R (вне шара)
2) r<R (внутри)
Найти Е и D вне и внутри шара).
ОА=r
1) Наход. картину линий поля.
2) Выбор замкнутой поверхности удобной для реш. задач.
Во всех точках поверх. или к части точек cosa=1.
3) Это замкнутая поверхность должна проходить через исслед. точку.
4) К построенной поверхности строят нормаль. Очевидно что для всех точек поверх a=0 D=const.
5) Вычисляем формально поток (левую часть формулы Гаусса) _ _ n
ƒDdS=Sq i
S i=1
ƒDdS=DƒdS=D´ S=Dґ4pr 2 (1)
S S
6) Вычисляем алгебраич. сумму зар. попавших внутрь поверх. (прав. часть форм.)
Sq i = r V= r (4/3)ґpr 3 (2)
7) Приравниваем (1) и (2)
Dґ4pr 2 = r (4/3)ґpr 3
D=(( r R 3 )/3)ґ1/r 2 D~1/r 2
q= r (4/3)ґpr 3 D=q/4pr 2
Электрич. смещение D и напр. поля Е в люб. точке. вне шара. определ. по тем же формулам что и для точечн. заряда.
Рассм. точку внутри шара.
1) _ _
ƒDdS=DƒdS=D´ S=Dґ4pr 2
S S
2) Sq i = r V= r (4/3)ґpr 3
D=4pr 2 = r (4/3)ґpr 3
D= r /3ґr D~r
Постр. граф. завис. D(r).
D в диэлектр и D в вакууме - одинаков.
Для напр. поля но основ. получ. формулы для D и на основ. связи D= r /3ґr
E=D/ee 0
для А E=(q/4pe 0 r 2 )=k(q/r 2 ) b)
для С E=( r /3ee 0 )ґr a)
Найдем знач. Е в точках на поверхности. Воспользуемся а) и b) и подходом к поверхности снаружи и изнутри.
6) E R =q/4pe 0 R 2 r=R
Подходим к поверх. изнутри.
7) E R =( r /3ee 0 )ґR
E=( r 4pR 3 )/(3ґ4pe 0 R 2 )
8) E=( r /3e 0 )ґR
Сравнивая 7) и 8) видим что напр. поля не равны.
E R №E R E R >E R (скачок)
вн сн вн сн
Завис. Е(r)
При e ср <e ш
Методика применения теор. Гаусса универсальна и применима для реш. любой задачи.
Применение теор. Гаусса к расчету некоторых электростатических полей в вакууме.
1)Поле равномерно заряж. бескон. плоскости:
Бесконечная плоск. заряжена с постоянной поверхностной плотностью +s (s = dQ/dS - заряд приходящийся на единицу поверхности). Линия напряженности перпендикуляр.
плоскости и направленный в обе стороны. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим цилиндр,
основание параллельно плоскости.
Полный поток сквозь цилиндр
равен сумму потоков сквозь его основания, т.е. равен 2ЕS. Заряд заключенный внутри построенной цилиндрической поверхности равен sS. Согласно теор. Гаусса 2ЕS=sS/e 0 ,
откуда Е=sS/2e 0 . Из формулы видно, что Е не зависит от расстояния.
2) Поле двух бесконечн. параллельных разноименных заряженных пластин.
Слева и справа от плоскостей по суперпозиции напряженности равна нулю. А внутри между пластин Е=s/e 0 .
3) Поле равномерно заряженной сферической поверхности.
Сфера радиуса R с общим зарядом Q заряжена равномерно с поверхностной плотностью +s. Если r>R, то внутрь поверхности попадает
весь заряд и по теор. Гаусса
4pr 2 E=Q/e 0 , откуда
E=(1/4pe 0 )ґQ/r 2 (r і R)
Если rў<R, то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри сферы электростатич. поле отсутствует, т.е. Е=0.
4) Поле объемно заряженного шара.
Шар радиуса R с общим зарядом Q заряжен равномерно с объемной плотностью r ( r =dQ/dV - заряд приходящийся на единицу объема). Напряженность вне шара будет как и в 4) т.е. Е=(1/4pe 0 )ґQ/r 2
Внутри же будет другая.
Сфера радиуса rў<R охватывает заряд Qў=(4/3)p(rў) 3 q. Поэтому по теор. Гаусса: 4p(rў) 2 Е= Qў/e 0 =(4/3)p(rў) 3 ґ r e 0
, получим: E=(1/4pe 0 )ґ(Q/R 3 )rў (rўЈ R).
5) Поле равномерно зар. без-
кон. цилиндра.
Безкон. цилиндр радиуса R заряжен равномерно с линейной плотностью t (t=dQ/dl - заряд, приходящийся на единицу длины). Поток сквозь торцы цилиндра равен 0, а сквозь боковую поверхность 2prlЕ , где l -высота. По теореме Гаусса, для r>R
2plЕ=t(l/e 0) , от сюда Е=(1/2pe 0 )(t /r) (r і R).
Если r<R , Е=0.
Теор. Гаусса в дифференциальной форме.
В случаях неравномер. распред. заряда и не симметр. конфигурациях заряженных тел теор. Гаусса в интегр. форме применять затруднительно. В этих случаях легко реш. задачи с помощью дифференц. формы теор. Гаусса.
Пусть заряды в пространстве распред. неравномерно r №const
В общем случае r =f(x,y,z)
Рассм. т. А(x,y,z). В этой т. r (x,y,z). В т. А D(x,y,z) D - смещение в т. А.
Для получ. теор. Гаусса в нов. форме воспольз. теор. Гаусса в интегр. форме. для некотор. элементар. обьемного пространства в окрестностях т. А. В виде куба стор. котор. параллельны осям.
Предполагаем что внутри DV в окрестностях т. А. r =const
1) ƒDdS= r DV DV®0
S
Нах. предел отношения потока через поверхность куба. на DV при DV®0.
2) lim ( ƒDdS/DV)= r (в т. А)
DV®0 S
lim ( ƒDdS/DV)=div D
DV®0 S
(дивергенция)В математике показ. что
div D=(¶Dx/¶x)+(¶Dy/¶y)+
+(¶Dz/¶z)
D=iDx+jDy+kDz divD - скалярная вел.
Перепишем 2) в окончательном виде.
3) div D= r - теор. Гаусса в дифр. форме.
Дивергенция электрическ. смещ. в данной т. поля равна объемной плотности заряда в этой точке.
Из 3) очевидно если r >0
(+ зар) div D>0 - исток расхождения. Если r <0 ( - зар)
div D<0 вхождение линий.
Из3) важное следствие:
Источником поля явл. электрич. заряд.
Теор. Остроградскрго Гаусса.
Ур. 3) домножим лев. и прав. часть на dV.
4) div DdV= r dV
проинтегрируем 4) по объему
5) тdiv DdV=т r dV
v v
т r dV=тDdS
v s
6) тdiv DdV=ƒDdS - Остр. Г.
v s
согласован “
В теор. Остр. Гаусса содерж. связь между дивергенцией и потоком одного и того же вектора.
Работа сил. электростатич. поля.
Потенциал поля.
Силы электростатич. поля перемещая электрич. зар. соверш. работу.
Вычислим работу сил электростатич. поля для перемещения зар. по произвольной траектории.
q - созд. поле.
+q 0 -перемещ. в поле заряда q.
Рассмотрим перемещение заряда на элементар. кчастке dl.
0) dA=F l dl =Fcos adl =Fdr
r - тек. расст. между q иq 0 .
Найдем полную работу.
2 2
А=тdA=тFdr
1 1
Поскольку Fdr cosaў=1
Fdr=Fdr
r 2
_ _1) A=тFdr
r 1
Воспользуемся для получ. втор. формулы связью между
Е и F. E=F/q 0 E=q 0 E
2) dA=q 0 E l dl =q 0 Edl =
=q 0 Ecos adl
интегрируем 2) лев. и прав. часть
2
3) A=q 0 тEdl
1
Получим еще одну формулу.
Воспольз. 1) в котор. подставим ур. F кл .
r2
A=тk(q 0 ґq/r 2 )dr
r1
A=q 0 ((kq/r 1 ) - (kq/r 2 ))
Из 4)
5) A=q 0 (j 1 - j 2 )
Работа при перемещении зар. q 0 электростатич. силами равно произв. вел. этого заряда на разность потенциала в начальной и конечной точке.
Из 4) след. что работа сил поля независ. от формы траектор. Силы электростатич. явл. консервативными , поле электростатическое явл. потенциальным полем.
Используя 5) дадим второе опред. потенциала. Для этого рассм. перемещение полож. заряда q 0 из данной т. в котор.
j 1 = j в бесконечность j 2 =j Ґ =0.
Из 5) А Ґ =q 0 j
6) j = А Ґ /q 0
Потенциал. поле в данн. т. числ. =работе соверш. сила электростатич. поле при перемещении единичного полож. заряда из данной т. в бесконечность. Потенц. скаляр. характеристика. Дж/Км=В
Теор. о циркуляции вектора напр.электростатич. поля.
Потенциальный характер поля.
Рассм. перемещ. зар. q 0 в поле заряда q вдоль произвольной замкнутой траектор. А = 0.
Возмем для работы форм. 3)
q 0 ƒE l dl=q 0 ƒEdl =0
L L
q 0 № 0
1) ƒE l dl=0 - циркуляция Е
L
_Циркул. Е в доль произвольн. формы замкн. контура=0.
Теор. о циркул. свидетельствует о том что электростатич. поле - потенциальное.
Если циркул. не =0 то поле не потенциально.
Физ. смысл. циркул. численно равен работе по перемещ. единичн. полож. зар. по замкн. траектории.
Лекция.
Вычисление разности потенциала по напряж. поля.
2
1)A=q 0 тE l dl
1
2)A=q 0 (j 1 - j 2 )
2
j 1 - j 2 =тE l dl Связь между
1
разностью потенциала и напряженностью поля.Вычислим разность потенциала для бесконеч. , равномер. заряженной нити с линейной плотностью t .
Пример:
t =dq/dl [ Кл/м]
t 1 , t 2 e=1
(j 1 - j 2 ) - ?
E l =Er dl=dr
r2 r2
j 1 - j 2 =тErdr=тEdr
r1 r1
E=(t/2pe 0 r) напряженность поля в точке на расст. r от нити. 2
j 1 - j 2 =(t/2pe 0 )тdr/r
1
j 1 - j 2 =(t/2pe 0 )ґln(r 2 /r 1 )
Пример 2:
Вычисл. разности потенциала для равномер. заряж. сферы (проводящий шар).
Сфера R , q=1
1) r<R 2) r>R
Для точек вне сферы (r>R) из теор. Гаусса напряженность Е вычисляется Е=1/2pe 0 =q/r 2
Внутри (r<R)
Е=0
r2 r2
j 1 - j 2 =тErdr=тEdr=
r1 r1
=(q/4pe 0 )тdr/r 2 =(1/4pe 0 )(q/r 1 ) -
- (1/4pe 0 )(q/r 2 )
из последнего выражения следует что потенц. поля не определ. как и у точечного зар. котор. нах. внутри.
r>R j =(1/4pe 0 )(q/r)
Внутри напряженность поля =0
поэтому j 1 - j 2 =0
j 1 =j 2 =j R =(1/4pe 0 )(q/R)
j =const
Нарис. графики.
Связь между напряженностью поля и потенциалом в диффер. форме.
Градиент потенциал.
Для получения связи между Е и j в одной точке воспользуемся выраж. для элементарн. работы при перемещении q 0 на dl по произвол. траектории.
dA=q 0 E l dl
В силу потенциального характера сил электростатического поля эта работа соверш. за счет убыли потенциальной энергии.
dA= - q 0 dj = - П
E l dl = - dj
3) E l = - (dj /dl )
Проэкция вектора напряж. поля на произвольном направлении (l) равна взятой с обратным знаком производной по этому направлению.
4) E x = - (dj /dx)
E y = - (dj /dy) E z = - (dj /dz)
E= - ( i (¶/¶x)+j (¶/¶y)+
+k (¶/¶z))ґj
E= -grad Напряженность
поля в данной т. равна взятому с обр. знаком градиенту потенцеала в этой точке.
Градиент сколяр. фукции явл. вектором.
Градиент показывает быстроту изменения потенцеала и направлен в стор. увелич потенцеала.
Напряж. поля всегда перпендикулярна к эквпотенцеальным линиям.
Пусть точечный заряд q 0 перемещается в доль эквипотенцеала j =const , dl - на эквипотенцеали.
dA=q 0 E l dl dA=0 т.к. Dj =0
E l =Ecosa q 0 Ecosa dl =0
q 0 №0 E№0 dl№0 cosa=0 a=90 0
Проводники в электрич. поле.
Электроемкость проводников.
Конденсаторы.
Энергия поля.
§1 Условия равновесия заряда на проводнике. Электростатич. защита.
Внесем в электрич. поле напряженностью E 0 тело.
При внесении проводника все электроны окажутся в электростатич поля.
В нутри проводника за короткое время призойдет разделение эл. зарядов (электростатич индукция) с накоплением их на концах.
E 0 - внешнее E' ЇE 0
E' внутри проводника
Е=E 0 +E'=0 E'=E 0
E - результ. поле в нутри проводника.
В результате рассмотренныых процессов.
Усл. равновес. заряда.
1)Напр. поля во всех точках внутри проводника Е=0 .
2)Поверхность проводника
явл. эквипотенцеальной
j =const.
3) Напр. поля Е ^ эквипот.
j =const.
В силу Е=0 проводники люб. формы явл. защитой от электростатич. поля.
Поле у поверхн. заряж. проводника.
Рассм. произаольную форму проводника заряж. по поверх. с поверхностной плотностью s .
Воспольз. теор. Гаусса в интегральной форме.
ƒDdS=Sq i
s
На заряж. поверхности отсечем круг площадью S.
ƒe 0 EdS=e 0 EтdS
s s
e 0 EґS=sґS
в т. А E=s/e 0
D=e 0 E D=s
Напр. поля прямопропорц. поверх. плотности заряда проводника в окрестностях этой точке.
Разделение зар. по проводнику завис. от его поверх. (у острых углов заряд больше , напряж. сильнее).
Электроемкость проводника.
Единица электроемкости.
Рассм. проводник произв. формы. В близи этого проводника других проводников нет. такой проводник назв. уединенным проводником.
Будем заряжать уединенный проводник. При увеличении заряда потенциал прямо пропорционально зависет от Q.
Связь между зарядом Q , потенциалом j , и формой проводника дает электроемкость С=Q/j .
Емкостью уединенного проводника - назв. физ вел. числ.= величине зар. сообщаемого этому проводнику при увеличении потенциала на 1В.
В Си 1Ф - фарад.
1Ф=1Кл/1В
Электроемкость зависет от размеров , формы и диэлектрической проницаемости среды.
С=4pee 0 R
j =(1/4pee 0 )ґ(Q/R)
Уединенные проводники при приближении к ним других проводников свою емкость существенно меняет (уменьш. за счет взаимного влияния электростотич. полей).
Лекция.
Конденсаторы.
Типы конденсаторов.
Конденсатор - устройство позволяющие получать стабильное значение емкости независящее от окружения.
Создание закрытого поля не влияющего на металлич. предметы достигается за счет двух металлич. разноимен. заряж. электродов.
В зависемости от формы обкладок различают плоские , цилиндрические , сферические конденсаторы.
Расчет емкости конденс. разл. типов.
1) Дано: s , Ѕ+ s Ѕ=Ѕ - s Ѕ ,
e , S , d
C - ?
C=q/j уедин. проводника
Для конденс.
1) С= q/Dj =q/U
Dj =U - напряжние
С=sS/Ed=sS/[(s/ee 0 )ґd]=
=ee 0 S/d 2)
Цилиндрич. конденсатор.
R1 , R2 , l , e
Ѕ+q Ѕ=Ѕ - qЅ
+t , -t
C - ?
Воспользуемся 1)
R2
С= tl/(тEdr) E= t/2pee 0 r
R1
Напряженность поля произвольной точки располож. между цилиндрами на расст. r от оси определяется только зарядами на внутреннем цилиндре (см. теор. Гаусса). Аналогично для тонкой нити.
R2
С= tl/(т(t/2pee 0 r)dr=
R1
= [tl/(t /2pee 0 ґln R 2 /R 1 )]
3) C=[tl/(t /2pee 0 ґln R 2 /R 1 )]
емкость цилиндрич. конденс.
Сферич. конденсатор.
Сферич. конденс. - две концентрические сферы определ. радиуса.
Дано: e , R1 , R2
Ѕ+q Ѕ=Ѕ - qЅ
C - ?
Использ. 1) R2
С=q/= q/Dj =q/(тEdr)=
R2
R1=q/(т(q/4pee 0 r 2 )dr)
R1
C=q/((q/4pee 0 )ґ(1/R 1 - 1/R 2 ))
C=4pee 0 R 1 R 2 /(R 2 - R 1 )
Для всех видов конденс. видно что емкость зависит от параметров электродов. Всегда с помещением диэлектрика между электродов емкость увелич.
Соединение конденсаторов.
Батареи конденсаторов.
Конденсаторы часто приходится соединять вместе. Часто возник. необходимость соед. их в батареи (когда нужно иметь другую емкость).
1) Последовательное соед. - соед. при котор. отрицательные электроды соед. с полож.
У последовательно соед. Конденсаторов заряды всех обкладок равны по модулю , а разность потенциалов на зажимах батареи
n
Dj =еj i
i=1
Для любого из рассматриваемых конденс. Dj i =Q/C i
С другой стороны ,
n
Dj =Q/C=Qе(1/C i )
i=1
Откуда
n
1/C=е1/C i
i=1
2) Параллельное соед. - соед. при котор. соедин. между собой обкладки одного знака.
n
С=еC i
i=1
У параллел. соед. конденсоторов разность потенциалов на обкладках конденсаторов одинакова и равна j а -j b . Если емкости конденсаторов С 1 ,С 2 , ..., С 3 то их заряды равны Q 1 =C 1 (j а -j b )
Q 2 =C 2 (j а -j b )
а заряд батареи конденсаторов
n
Q=еQ i =(C1+C2+...+Cn)ґ
i=1
ґ(j а -j b )
Полная емкость батареи
n
С=Q/(j а -j b )= еC i
i=1
Энергия заряженного проводника и конденсатора.
Рассм. уедин. проводник произв. формы. Проведем зарядку этого проводника , при этом подсчитаем работу внеш. сил.
Пусть при перенесении dq из Ґ , проводник приобрел потенциал j . Элементар. работа dA=j dq.
Допустим зарядили до Q .
С=q/j j=q/C
Вся работа совершаемая при зарядке проводника до Q равна.
1) A=Q 2 /2C 2) A=Cj 2 /2
3) A=Qj/2
В окружающем пространстве после зарядки проводника возникло электростатическое поле, значит работа при зарядке проводника расходуется на создание поля. Значит работа переходит полностью в энергию электростатич. поля.
W эл =1) или 2) или 3)
Из 1) , 2) ,3) не следует ответа что энерг. W n локализована в самом поле поскольку в формуле стоят параметры заряж. проводника.
Конденсатор.
Рассм. зарядку конденсатора состоящего из двух обкладок
Первый путь - dq перенос. из Ґ на одну из обкладок , тогда на второй обкладке возникнет -.
Второй путь - элементарн. заряд dq перенести из одной обкладки на вторую.
Независимо от способа формулы 1) , 2) , 3) справедливы (только j изменяется на Dj).
Энергия электростатического поля.
Объемная плотность энергии.
Носителем энергии явл. само поле.
Для подтверждения этой идеи возьмем формулу 1).
W эл =Q 2 /2C применим ее к плоск. конденсатору. (параметры известны).
W эл =s 2 S 2 d/2ee 0 S=(s 2 /2ee 0 )ґSd=
=(ee 0 s 2 /2(ee 0 ) 2 )ґV
1) W эл =(ee 0 E 2 /2)ґV
Из 1) следует что носителем энергии явл. поле с напряженностью Е.
Из 1) следует что все стоящее перед объемом - это объемная плотность энерг. электростатического поля.
2) w эл =(ee 0 E 2 /2)
2') w эл =DE/2
В физике доказывается что 2) и 2') можно применять и для неоднородного поля, для котор. полная энерг. может быть вычесленна по формуле
3) W эл =тw эл dV
v
Лекция.
Диэлектрики в эл. поле. Поляризация диэлектриков.
§1 Проводники и диэлектрики. сущность явл. поляризации.
У проводников электроны могут свободно перемещаться по всей толще образца.
явл. Электростатической индукции
Диэлектрики - вещества плохо или совсем непроводящие эл. ток.
В диэлектрике свободные заряды отсутствуют. У диэлектрика очень большое сопротивление.
Во внешнем поле у диэлектриков происходят очень существенные изменения. Заряды находящиеся в атоме во внешнем поле Е 0 смещаются или пытаются сместиться. Диэлектрик во внеш. эл. поле поляризуется.
При поляризации диэлектрика Е№0.
У диэлектрика во внеш. эл. поле на поверхности образца появл. связнные некомпенсированные поляризованные заряды.
Явл. поляризации заключ. в появлении электрич. поля Е при внесении во внеш. поле Е 0 появл. связанных поверхностных зар. и появлении в толще образца , в каждой единице объема дипольного момента.
Диполь во внеш. эл поле.
Рассм. электрический диполь образованный зарядом q.
Электрич. момент p=ql , где l- плечо диполя. Вносим диполь во внеш. поле.
Е=const
Ѕ+qЅ=Ѕ-qЅ=q
Запишем силы действующие на заряд.
На +q - F + , на -q - F_
ЅF + Ѕ=ЅF_Ѕ=ЅFЅ=F
На электрич. момент действ. пара сил , при этом возник вращающий момент М.
М=Fd=Flsina=Eqlsina=
=Epsina
d - плечо силы
M=[P,E] -вращ. момент
(сколяр. произв.)
В однородн. эл поле электрический диполь поворачивается до тех пор пока эл. момент не станет направлен по внеш. полю PE т.е. эл. диполь в полож. устойчивого равновеия.
В неоднородном эл. поле диполь наряду с поворотом испытывает поступательное движ. в область неоднородного поля.
Типы диэлектриков.
Виды (механизм) поляризации диэлектриков.
В зависимости от структуры молекул различ. два типа диэлектриков поляр. и неполяр.
неполяр. полярные
O 2 , H 2 , CO ... HCl ,...,CO 2
Симметрич. Не симметри-
структура ма- чная структу-
лекул. ра.
Без внеш. поля.
(Е 0 =0)
В О центры Центры тяж.
тяж. (+) и (-) не совпадают
совпадают.
P i =0 P i №0
еP i =0 еP i =0
i i
В силу хаотич. движ. диполей.
У неполяр. диэл. в отсутств. внеш. поля малекулы не имеют собств. эл.моментов. (диполей нет)
Во внеш. поле
P i №0
Ориентация
_ диполи по
P i №0 внеш. пол. Е 0
еP i №0 еP i №0
i i
диполи
Поляризация в завис. от вида механизма назв.
Диформационная электронная - Ориентационная поляризация
Независимо от вида поляризации у любого поляризованного диэлектрика появляется в эл. поле суммарный электрический дипольный момент.
Поляризованность.
Вектор поляризованности.
Связь его с поверхностными зарядами.
Явл. поляризации описывается с помощью важной характеристики поляризованностью или вектора поляризации Ю.
Поляризованностью диэлектрика назв. физ. вел.численно равную суммарному электрическому (дипольному) моменту молекул заключенных в единице объема.
1) Ю=еP i /DV
i
в числителе суммарный момент всего образца , DV - объем всего образца.
В Си[Ю]=Кл/м 2
2) Ю=жe 0 Е
ж -диэлектрическая восприимчевость вещества.
ж>0 ж>1
Из 2) ж -const
Покажем что вектор поляризации равен (для точек взятых внутри диэлектрика).
Ю= s '
Пусть во внеш. поле Е 0 нах. массивный образец.
DV=Sl
Независимо от способа поляриз. справа будет +s ' , справа -s '.
еP i =ql=Ss 'l=
i
Ю=s 'Sl/Sl =s '
Эл. поле внутри диэлектрика.
Вектор эл. смещения.
Рассм. поляризацию однородного , изотропного диэлектрика (ж -const) внесенного во внеш. однородное поле поле Е0 образованное плоским конденс.
На образце появятся поверхностные связанные заряды.
+ s ' , - s '. _
Связ заряды созд. поле Е'
напр противополож. Е 0 .
Е=Е 0 +Е' Е= Е 0 +Е'
Е=Е 0 - s '/e 0 =E 0 - жe 0 E/e 0
E+жE=E 0
(1+ж)= E 0
1+ж=e
E=E 0 /e - напряженность поля в диэлектрике внесенного во внеш. поле Е 0 .
Напряженность поля в диэлектр. Уменьшется в e раз при условии что s на обкладках конденс. остаются постоянными.
Если диэлектрик вносится в плоский конденс. подключенный к источнику напряжения , напряженность остается =Е 0 .
eЕ=Е 0
ee 0 Е=e 0 Е 0 D 0 =e 0 Е 0
D=D 0 =s
В таком случае эл. смещение одинаково в вакууме и в диэл.
Лекция.
s =const E=Е 0 /e 0
E созд. всеми видами зарядов как свободными так и связанными.
D = D 0
диэл в возд
U=const
s =const
Е 0 =E
D=eD 0
Связь между связанными и свободными и свободными зарядами (s и s' ).
Связь между s и s' устанавл.на основании выраж. для напряж. поля.
Е= Е 0 - Е'
Е 0 /e=Е 0 - Е'
s/e 0 =s/e 0 - s '/e 0
s/e= s - s'
s'=(e - 1/e)ґs
Связь между Е , D , Ю.
D= e 0 eE=(1+ж)ґe 0 E=
=e 0 E+жe 0 E 0
D=e 0 E+Ю - связь
Теор. Гаусса при наличии диэлектриков.
Для воздуха и для вакуума две равные теор. Гаусса.
1) ƒD n ds=еq i
S i
2) тe 0 E n ds=еq i
i
1)=2)
При наличии деэлектриков значимость 1) и 2) различна. В формуле 2) при наличии диэлектрика в прав. часть надо добавить алгебраич. сумму всех связанных зарядов 2)' тe 0 E n ds=еq i +
i
+еq i '
i
Вел. связанных зарядов зависет от Е n .
Поток вектора эл. смещения сквозь произвол. замкн поверх. равен алгебраич. сумме всех свобод . зарядов заключ. внутри поверхности.
ƒD n ds=еq i - теор. Гаусса
S i
при наличии диэлектрика.Явление на границе двух диэлектриков .
Граничные условия.
Закон преломления линий поля.
До сих пор мы рассм. диэл. вносимый в поле так что поверхность его совпадала с эквипотонц. поверх. , а линии Е и D были ^ поверхности.
Каково направление Е и D если Е и D не ^ эквипотонц. поверх.
Для построения картины поля внитри диэлектрика нужно знать граничные условия.
Граничные условия для нормальных составляющих
Е и D.
Рассм. границу раздела двух диэлектриков.
Псть у 1) - e 1
2) - e 2
e 2 > e 1
Пусть на границе раздела двух диэлектрикриков D направлен под углом a.
Расскладываем D 1 и D 2 на состовляющие нормальную к поверхности и танген-циальную.
D 1 =D 1n +D 1t
D 2 =D 2n +D 2 t
Для применен. Теор. Гаусса надо построить замен. поверх.
Нухно выбрать цилиндрич поверхн.
Найдем поток вектора эл. смещения через замкн. поверх.
Ф D =D 2n DS - D 1n DS
Найдем алгебр. сумму зар. попавших внутрь.
D 2n DSґD 1n DS=0
DS№0
1) D 2n =D 1n
Cогласно связи.
e 2 e 0 E 2n = e 1 e 0 E 1n
2) - втор. гранич. усл. показ. каково повидение Е на грпнице: E n на границе раздела двух диэл. изменяется скачком.
Граничные условия для тангенц. состовляющей.
Для получ. этих гранич. усл. воспольз. теор.о циркуляции вектора напряженности электрич поля.
ā l dl=0
L
Нужно построить четеж для
Е аналогично рис 1.
(1) - Е 1 ® Е 1 =E 1n +E 1t
(2) - Е 2 ® Е 2 =E 2n +E 2t
Для применения теор. о циркул. нужно выбрать замкн. контур. В качестве замкнутого контура выбираем прямоугольник стороны котор. ЅЅ границе раздела , высота h®0.
АВ=CD=а
Направление обхода по часовой стрелке.
ā l dl=0 L=ABCD
L
В каждой точке на расст AB E 1t ЅЅ этому участку.
Поэтому циркуляция E 1t на AB равна
B D
ƒÅ l dl=E 1t тdl - E 2t тdl=0
L A C
E 1t a - E 2t a=0
a№0
3) E 1t =E 2t
У вектора напряженности поля при переходе через границу раздела двух диэлектриков не меняется тангенциальная состовля-ющая.
D 1t /e 1 e 0 =D 2t /e 2 e 0
Используя 3) и связь между
D и E получим:
На границе раздела двух диэлектриков тангенц.
сoставл. D изменися.
1,2,3,4 - условия позволяют правельно построить картину линий поля.
Закон преломления линий поля.
tga 2 =D 2 t /D2n tda 1 =D 1 t /D 1n
tga 2 /tga 1 = D 2t ґD 1n / D2nґD 1t = =D 2 t /D 1 t = e 2 /e 1
5) tga 2 /tga 1 =e 2 /e 1 - зак. преломления линий поля.
Угол больше в той среде где e больше.
Из 5) следует гуще линии поля располож. В диэлектрике где e больше.
e 2 < e 1
Построить картину линий поля.
Активные диэлектрики.
(диэлектрики с особыми поляризационными свойствами.)
Мы рассматривали поляризацию однородных, изотропных диэлектриков.
Ю=жe 0 Е
ж=const
При Е=0 у большенства диэл. Ю =0. (поляризация исчезает)
Сущ. диэлектрики с нелинейной зависемостью.
Ю от Е.
Ю №жe 0 Е
2) Ю = f(E)
Это первый тип диэл. с особыми свойствами предста-вляет собой класс сигментодиэлектриков.
У сигментодиэлектриков 2) представляет собой петлю гистерезиса.
Петля гистерезиса 1,2,3,4,5,6,1
Область 0,1 - область первичной поляризации.
При уменьшении Е вектор Ю убывоет по кривой 1,2,3.
При Е=0 в диэлектрике сохраняется остаточная поляризация Ю 0 .
Ю =0 в т. 3 т.е. при внеш. поле обратного направления.
Лекция.
Постоянный ток.
Проводимость металлов и газов.
Электрический ток - направленное движение зарядов.
Носители заряда - заряды создающие ток.
В электролитах - ионы
металлах - электроны
газах - ионы и электроны.
Проходимостью тока - назв. прохождение зарядов через вещество.
Типы проводимости - ионная , электронная , смешанная.
Независимо от вида проводимости для тока приняты следующие характеристики:
Сила тока - физ. вел. численно равная заряду переносимому через поперечное сечение проводника за 1 с. (скалярная вел.)
[ I ]=A
1А = сила тока при прохождении которого через поперечное сечение проводника в 1 с переносится заряд в 1 Кл.
А - четвертая основная единица в Си.
Направлением тока считают направление положительных зарядов.
Если сила тока постоянна и направление постоянно , то говорят о постоянном токе.
(1) - справедлива для постоянного тока.
Если сила тока меняется со временем то (1) запис. следующую 2) i=dq/dt.
На основании (2) можно получить кол- во заряда переносимого через поперечное сечение проводника за единицу времени dq=idt.
t
3) q=тi(t)dt
0
Плотность тока - векторная характеристика.
По определению постоянного тока плотность тока равна
4) ЅjЅ=I/S ^ S ^ - ^ току
Плотность тока - физ. вел. численно равная заряду переносимому за 1с через единичную площадку поперечного сечения расположенного ^ току.
Если ток меняется 5) j=di/dS ^
формула 5) дает возможность находить силу тока.
6) di=jdS ^ =j n dS
интегрируем лев. и прав. часть.
7) i=тj n dS =тjdS
S S
Из 7) следует что сила меняющегося тоеа численно = потоку вектора плотности тока через площадь поперечного сечения.
Единицей плотности тока явл. А/м 2 .
Связь между плотностью тока и скор. направленного движения носителей тока.
В любом веществе проводящем ток носители тока учавствуют в непрерывном чаотич. движ.
u т =<u> cр u т - тепловая скор.
Направленное движ. это движение которое налагается на хаотич. тепл. движ. и вынуждает носителей двигаться в определенном направлении.
<u> cр - ср. знач. скор. направленного движ.
Плотность тока явл. функцией. j=f(n, q эл , <u>)
1) j= q эл ґn<u>
Для док. рассмотрим проводник постоянного сечения цилиндрич. формы.
n - число носителей тока
q эл - известно
q - вел. заряда переносимого через попереч. сечение S за время t.
l=<u>
V=lS=<u>S
q v = q эл nV - через S ^ за 1с.
q=q v ґt
Подставим в 2)
i= q эл nVґSt/St _ _
Отсюда следует j=q эл n<u>
Условия существования тока.
Источники тока.
Э.Д.С. источника тока.
Необходимые усл. сущ. тока.:
1) наличие носителей тока
2) наличие сил вынуждающих носителей тока двигаться
3) наличие разности потенциалов вдоль поверхности проводника.
Рассм. отрезок проводника.
Для длительного поддержания тока необходимо какимто образом положительные носители тока с конца 2 перенести на торец 1.
Движение носителей тока внутри образца происходит под действ. силы электрич. природы.
Движение зарядов прекратится очень быстро: положительные скапливаются на конце 2.
Перенос зарядов из 2 в 1 осуществить невозможно (это означал о бы движения (+) против Е ).
Такой перенос можно осуществить только с помощью силы другой природы не электрич. происхождения.
Этот перенос реализует устройство называемое источником тока.
За счет действия источника тока внутри проводника появл. электр и ч. поле напряженностью Е.
Поскольку Е поверх. проводника , то поверх. проводника не явл. эквипотонц.
j 2 < j 1
j 2 - j 1 = Dj
Источ. тока независ. от принципа работы характеризует e - Э.Д.С. и r - внутр. сопротивл.
Э.Д.С. - называют работу совершаемую сторонними силами по перемещению единич. полож. зар. на замкнутом участке цепи.
1) e=A*/q
[e]=B
Втор. определение Э.Д.С.
2
A=q(j 2 - j 1 )=qтЕ l dl
1
2
2) A*=A 1,2 *= qтЕ l *dl
1
E* - напряженность поля сторонних сил.
E*=F*/q
Подставим 2 в 1.
2
3) e=тЕ l *dl
1
Для замкн. цепи в 3) нужно взять контурный интеграл.
4) e=ā l *dl
L
Э.Д.С. - в замкнутой цепи = циркуляции вектора напряженности поля сторонних сил.
Зак. Ома в интегральной форме.
(обобщенный закон)
I=(j 2 - j 1 )/R=U/R
R= r ґ(l/S) для цилиндрич проводников.
r - удельное сопротивление.
U=j 2 - j 1 совпадают только для однородного участка цепи.
На осн. зак. сохр. энерг. можно получить зак. Ома в
общей форме, из которого следуют частные случаи.
Обобщенный закон Ома -
закон для неоднородного участка цепи.
Неоднородный участок - участок содержащий источник тока.
I=((j 2 - j 1 )±e)/R 1,2 - обобщенный закон.
R 1,2 =R+ r
Со знаком + e берется тогда кокда сила тока от + к - .
Со знаком - e тогда когда о - к +.
(j 2 - j 1 )±e =U
Рассм. частный случай.
1) случай e=0
I=(j 2 - j 1 )/R=U/R
2) случай: замкнутая цепь
j 1 =j 2 j 2 - j 1 =0
3) I=e/(R+r)
Зак. Ома в дифференциальной форме.
Рассм. проводник переменного сечения.
Выделим внутри элементарный объем , длинна - dl , площадь поперечн. сечения dS.
dR= r ґ(dl/dS)
Выделим объем соответствующей однородному участку цепи.
dI=dU/dR
dI=dU/( r ґ(dl/dS))
dI/dS=(1/ r )ґ(dU/dl)
j=(1/ r )ґE
1/ r =g - удельная проводимость.
J=gE плотность тока в данн. точке проводника = произведению удел. Проводимости этого проводника на напряженность в этой же точке. C учетом сторонних сил для неоднородн. участка цепи зак. Ома будет:
j=g(E+E*)
Лекция.
Дополнительные оапределения Э.Д.С.
Для замкн. цепи зак. Ома будет
I=e/(R+r)
III) e=IR+Ir
IR - падение внеш. напряжения.
Ir - падение внутр. напряжения.
Электродвижущая сила источника тока = сумме падений напряжения на внеш. сопр. и на внутр. участке.
Из III можно прийти к заключению что если R>>r (источник тока разомкнут) R®Ґ.
IV) e=IR Э.Д.С.= напряжению на клемах разомкнутого тока.
Газовый разряд.
Ионизация. Рекомбинация газов.
Газы явл. диэлектрками , и в обычных условиях не проводят эл. ток.
Все газы сост. из нейтральных атомов и малекул.
Если каким либо образом создать носители тока в газах , то они станут проводниками.(ионизация).
: УФ , R - лучи , g - изл. , a , b частицы - внешние ионизаторы.
Ионизация - это превращение нейтральных атомов и малекул в ионы.
Электроны в атомах удерживаются силами куллоновск. притяжения.
Для удаления электрона необходимо сообщить энергию равную или превышающую энергию его связи с ядром (инергия ионизации E i ).
E i =от 5 до 20 эВ
Электрон и ион могут перемещаться под действ. эл. поля.
Свободн. электроны сталкиваясь с нейтральными атомами может войти в его состав создавая отрицательный ион.
В результате ионизации возник. 3 вида носителей тока: +ион , -ион , электрон.
Возникают два направленных друг к другу встречных потока образующие эл. ток.
Одновременно с ионизацией в газе происходит рекомбинация газа заключающаяся в исчезновении носителей тока.
Под действием внешнего ионизатора мощностью Dn.
(показавает сколько электронов образуется в 1 м 3 за 1с.)
1) В нач. момент времени И>Р.
2) Спустя некоторое время И=Р n + =n_ устанавливается равновесие концетрации носителей тока n.
3) После выключения. И<Р
спустя время t n=0.
При выполнении ситуации 2) прохождение эл. тока через газы назв. газовыми разрядами.
Число рекомбинирующих ионов в единицу времени в 1м 3 оказывается пропорциональным концентрации полож. и отр. Ионов.
Dn r = rn 2 r - коэфф. рекомбинации.
В ситуации 2 Dn i =Dn r
Dn i = rn 2
1) n=Ц(Dn i /r)
Различают два вида газовых разрядов.
1) несомостоятельный
2) самостоятельный.
Несамостоятельный разряд - такой разряд для поддержки которого необходим внеш. ионизатор.
Самостоятельный разряд - разряд без внешнего ионизатора.
Вольтамперная характеристика газового разряда.
Зак. Ома для газового рязряда.
Прохождение тока через газы удобно изучать с помощью схемы.
Для того чтобы существовал ток для газового ионизатора нужен внеш. ионизатор.
В области 1 с увеличением U прямо пропорционально растет сила тока.
В области 1 справедлив закон Ома для газов.
В обл. 2 наблюдается отклонение от прмолин. завис. и от зак. Ома.
Обл. 3 - обл. насыщения : все носители тока падают на электроны.
Обл. 1 - обл. слабых полей.
j=j + +j_ j+q эл n + <u + >i
В равновесии q эл (+)=(-)=e в силу преимущества однократной ионизации.
n + =n_=n
j=en(<u + >+<u_>)
Опыт показывает что скор. напр. движ. зависит от вел. напряженности эл. поля и подвижности.
u + =b + E
u_=b_E
u + ,u_ - подвижность носителей тока.
u + >b_ b=u/E
Подвижность - это физ. вел. числ. = скор. упорядоч. движ. носителей тока под действием эл. поля единичной напряженности.
[b]=м 2 /(Вґс)
1) j=eґn(b + +b_ )E - зак. Ома.
Произведение равновесной концентрации на элементар. заряд носителей тока на сумму подвижностей и на напр. эл. поля.
2) j=gE
g = eґn(b + +b_ ) g=1/ r
g - удельная проводимость
3) j н =eґDn i ґd
d - расст. между электродами.
Dn i - мощность ионизатора.
Ударная ионизация.
Самостоятельный газовый разряд.
При больших напр. поля свобод. электроны ускоряются до таких энергий которых достаточно для электронным ударом.
В обл. 4 в нутри газа появл. собственный источник ионизации , ударной ионизации.
Число электронов резко возрастает.
Лавинообразный процесс.
В обл. 4 наличие внеш. ионизации необходимо для поддеожания заряда.
При дальнейшем увеличении напр. поля в обл. 5 энергию достаточную дляионизации получают ионы.
В обл. 5 разряд становится самостоятельным. при этом сила тока увелич. Практически без изменения Е.
Напряженность при котор. происпереход из несомост. В самост. разряд. разряд назв. напряжением зажигания или пробоя.
Типы самостоятельных газовых разрядов.
1) тлеющий
2) искровой
3) дуговой
4) коронный
(в Трафимовой)
Зак. Джоуля - Ленца в интегральной и диффер. форме.
На внеш. сопротивлении в любой электрической цепи выделяется кол - во теплоты.
1) Q=I 2 Rt
За время t при протекании силы тока при протекании силы тока в нем выделится кол-во теплоты Q. (интегральная форма)
Получим зак. в диффер. форме.
Для этого рассм. внутри проводника с сопр. R элементарный объем dV=dSґdl
dR= r dl/dS
Запишем вместо 1) кол-во теплоты выдел. в этом объеме за время dt.
2) dQ=jґ(dS) 2 ґ r ґ(dl/dS)ґdt
(dQ/dVdt)= r j 2
3) w т = r j 2 j=gE
w т = r ґg 2 E 2 =(1/g)g 2 E 2
3ў ) w т =gE 2
Работа и мощьность тока, КПД тока.
e=А*/q A=qe=eIt
полная мощность источника тока P=A*/t=Ie
P=I( IR+Ir)=I 2 R+I 2 r
P=P полез +P безполезн
h=P полез /P
Основные положения КЭТ.
1) При кристаллизации металлов из расплава атомы их теряют электроны. При этом возникают полож. заряж. ионы и свободные электроны. Если кажд. атом теряет по эл-ну, то n ат =n эл =(D/m)·N a . Своб. эл-ны способны перемещаться по всему объёму металла.
2) Все металлы имеют кристаллич. структуру, в основе которой лежит кристаллич. решётка кубич. формы с положит. ионами в узлах. Таким образом решётка прозрач. для эл-нов.
3) Своб. эл-ны, оторванные от атомов, становятся коллективной собственностью всего металла. Они соверш. хаотич. тепл. движение. При этом эл-ны ведут себя подобно одноатомным мол-лам идеал. газа, подчиняясь статистике Максвелла. Своб. эл-ны принято назыв. “электронным газом”. Для эл-нов по ф-ле, известной из МКТ можно определить сред. скор. теплового движения:
бVтс=Ц(8KT)/(pm)”10 5 м/c. 4) Своб. эл-ны, сталкиваясь с ионами, расположенными в узлах решётки, отдают им свою кинет. энергию. Этим обусловлено сопротивление проводников.
5) При приложении внешн. эл. поля напряжённостью E на хаотич. тепл. движение эл-нов накладывается упорядоченное движение. При этом возникает эл. ток. бVс “ бV T с
Оценим бVс по ф-ле j=q эл nбVс=enбVсЮ
Ю бVс=j/(en); n~10 29 м -3 , j (Cu) =10 7 А/м 2 Ю
Ю бVс~10 -3 м/с. Суммарн. скор.бV S с=бVс+бV T с
Поскольку бVс “ бV T с, то бV S с ” бV T с
Закон Ома в КЭТ
Основные положения КЭТ позволяют вывести ф-лу закона Ома как ф-цию параметров носителей тока. Для вывода используем соотношение j=enбVс. Пусть к проводнику приложено внешнее поле E. Своб. эл-ны придут в движение. На эл-ны будет действ. сила со стороны поля F=eE.E=constЮa=const.
F=eE=ma (по II з-ну Ньют.). a=(eE)/m
Для равноуск. движ. V t =V 0 +at
ср. длина своб. пробега бlс~d расст. между ионами; t-время своб. пробега.
Скорость электрона
V t =V max =at - до столкновения с ионом
V 0 =0 - после столкновения с ионом
бVс=(V 0 +V max )/2=V max /2=(at)/2=(eEt)/2m;
t = бlс/бV S с = бlс/бV T с;
бVс = [(eE)/2m] · бlс/бV T с;
j=enбVс=[(e 2 nE)/2m]·бlс/бV T с з-н Ома в КЭТ
j=gE Ю g=(ne 2 бlс) / (2mбV T с)
Закон Джоуля-Ленца в КЭТ
Нагревание проводника, согласно КЭТ, объясняется столкновением электронов с ионами кристал. решётки. Рассчитаем кинет. энергию отдельного эл-наперед столкновением с ионом, полученную им за счёт поля: W 1 =(mV 2 max )/2.
За 1 сек. эл-н может испытывать Z соударений, где Z = 1/t =бV T с / бlс. Если в 1 м 3 число эл-нов = n, то кинет. энергия, переданная решётке всеми n эл-нами за Z столкновений каждого из них W=nбZсW 1 =w T .
w T =[(mV 2 max )/2]·n·бZс=[ne 2 бlс/2mбV T с]E 2
Затруднения КЭТ
1) Температурная зависимость проводников . Согласно экспер. данным сопр. металлов увелич. с температурой по з-ну R=R 0 +aT, где R 0 -сопр. при T=273K, a=1/273 град -1 . Для r ф-ла аналогична r=r 0 +aT. Согл. опыта r~T. r=2mбV T с/(ne 2 бlс)Юr~бV T с. На осн. КЭТ след. r=ЦT, т.е. теория расходится с опытом.
2) Теплоёмкость металлов и диэлектриков. Согл. опвтов атомная теплоёмк. металлов и диэл-ков одинакова (C=3R, где R-газовая постоянная). Это положение наз. з-н Дюлонга и Пти. Согл. КЭТ металл сост. из кристал. решётки и своб. эл-нов, а диэлектрик своб. эл-нов не имеет. Следует ожидать, что теплоёмк. металлов=т.ё. кристал. решётки+т.ё. своб. эл-нов (C мет =R+3/2R=4,5R), чего нет на опыте.
Электронный газ, на самом деле подчиняется не классической статистике Максвелла, а квантовой статистике. Затруднения устраняются в квантовой теории проводимости. Несмотря на затруднения, КЭТ она проста и широко применяется при высоких темп-рах и малых концентрациях.
Электромагнетизм
Магн. поле. Движ. заряды в окруж. пространстве создают магн. поле, которое явл. одной из форм сущ. материи. В отличие от эл. статического поля, магнитное действует только на движ. заряды. Проводники с текущими по ним токами в окруж. пр-ве создают магн. поле. Принято различать макро - и микротоки . Макротоки -это токи, текущие по проводникам. В любом вещ-ве электроны движутся по круговым орбитам. Движение эл-нов в атоме по круговым орбитам тоже приводит к созданию магн. поля. Токи, создаваемые в веществах движущимися эл-нами называют микротоками .
Гипотеза Ампера: в каждом вещ-ве за счёт движения электронов возникают микротоки.
Для исслед. магн. поля применяют магн. стрелки (опыт Эстерда). Магн. стрелка предст. собой магнит, одетый на остриё. При пропускании тока через проводник стрелка испытывает силовое воздействие (устанавливается перпенд. проводнику). 2 й метод исслед. маг. поля - с помощью плоского контура с током. Форма контура не играет роли.
Необходимо, чтобы размер контура был настолько мал, чтобы не искажал исследуемое поле. Контуры, вносимые в магн. поле испытывают ориентирующее действие со стороны этого поля. Рамки принято характеризовать положит. нормалью. Положительной наз. нормаль, проведённую к центру проводника, удовлетворяющего правилу правого винта по напр. тока. На основании действия сил на рамку делают вывод: магнитное поле - силовое и его надо характеризовать опред. направлением. За напр. магн. поля принимают напр. полож. нормали в данном месте распол. контура с током.
Определение характеристик маг. поля связано с определением поведения контура с током в поле. В однор. поле внесён контур тока таким образом, чтобы вдоль линий поля была направлена плоскость.
Пара сил создаёт вращающий момент M. Опыт показывает, что вращ. момент зависит от некот. силовой хар-ки поля и от силы тока в рамке (M~B; |M|~|I|). Для всех рамок вводится хар-ка, связанная с размерами расок и силой тока, текущей в них. P m - магнитный момент. P m =I·S [А·м 2 ]. Магн. момент явл. вектором. P m =n·I·S, где n - орт полож. нормали, т.е. P m || n. Опыт показ., что M=[P m , B] - механический вращ. момент равен векторному произведению магнитного момента рамки на вектор индукции магн. поля. M=P m ·B·sina (a=P m ^B). Из этой ф-лы видно, что M=max, если a=90° (положение I на рис.) M max =P m ·B(1). M=0 при a=0 (полож II). Полож. II соответствует устойчивому равновесию рамки.
Индукция магн. поля - основная силовая хар-ка этого поля. Согл. ф-лы (1) B=M max / P m . Индукцией магн. поля в данной точке наз. физическая величина, численно равная макс. вращающему моменту, действующ. в данной точке на рамку с током, имеющую единичный магн. момент. [B]=Н/(А·м)=Тл (Тесла). Ин-ция магн. поля предст. собой хар-ку результирующего поля, созданного макро- и микротоками. Индукцию можно изобразить силовыми линиями (аналог напряжён. эл. стат. поля).
Напряжённость магн. поля
Использ. вектор B не всегда удобно, поскольку проявл. зависимость от свойств Среды. Вводится вспомогат. хар-ка, не завис. от свойств Среды - напряжённость магнитного поля H (аналог D в эл. статике). B=mm 0 H, где m-магн. проницаемость. Для вакуума m=1. m 0 -магнитная постоянная. m 0 =4p·10 7 Гн/м. [H]=А/м. Для вакуума H=B/m 0 . За ед. (А/м) напряж. магн. поля принимают напряж. такого поля, у которого индукция B=4p·10 7 Тл. H определяется только макротоками и не завис. от микротоков. Поскольку H - это вектор, для него принято строить линии напряжённости.
Вихревой характер маг. поля. В отличие от эл. стат. поля, маг. поле является вихревым: линии магн. поля всегда замкнуты, представляют собой окружности (вихри), охватывающие проводники с током.
Магн. поле не явл. потенциальным. Линии поля B строят согласно правилу правого винта. Векторы B и H направлены по касательной в каждой точке линий.
Принцип суперпозиции магнитных полей
Если в пр-ве имеется неск. проводников с токами, то в каждой точке пр-ва магн. поле создаётся каждым из проводников в отдельности независ. от наличия остальных. Результир. поле в этой точке характеризуется векторами B и H. B i и H i - векторы, порождаемые i-ым проводникомс током.
B=SB i ; H=SH i ;
Закон Био-Савара-Лапласа
Осн. задача магнитостатики состоит в умении рассчит. хар-ки полей. Закон Б-С-Л с использованием принципа суперпозиции даёт простейший метод расчёта полей.
dB-индукция, созд. в точ. A.
dB=(mm 0 /4p)·(I·dl·sina/r 2 ) [1]
dH=(I·dl·sina)/(4pr 2 ) [2]
Индукция магн. поля, созданная элементом проводника dl с током I в точке A на расстоянии r от dl пропорц. силе тока, dl, синусу угла между r и dl и обр. пропорцион. квадрату расстояния r.
dB=(mm 0 /4p)·(I·[dl,r] /r 3 )
Значение з-на Б-С-Л заключается в том, что зная dH и dB от dl можно вычислить H и B проводника конеч. размеров разл. форм.
Применение з-на Б-С-Л
Поле прямого отрезка конечной длины с током.
m=1, m 0 =4p·10 -7 Гн/м, H?, B?
dH=I·dl·sina/4pr 2
По правилу прав. винта найдём направл. dH
H=SdH. Поскольку все dH напр. одинаково, можно записать H=тdH. Переменной интегрирования выби-раем угол a.
rda/dl=sina Ю dl=rdl/sina.
dH=I·r·da·sina/sina·4pr 2 =
=I·da /4pr
из треуг. DOAЮ b/r=sinaЮ
Юr=b/sina.
dH=I·sinada/4pb
a1
H=т I·sinada/4pb=
a2
a1 a1
=I/4pbт sinada=-I/4pbcosa|
a2 a2
H=I/4pb(cosa 1 -cosa 2 ) (2)
B=m 0 I/4pb(cosa 1 -cosa 2 ) (2’)
Поле прямого бескон. тока.
Для беск. тока a 1 =0, a 2 =p
В (2): cosa 1 -cosa 2 =1-(-1)=2
H=I/2pb; B=m 0 I/2pb.
Поле кругового тока
H=тdH; r=R; a=90°
2pR
H=т I·dl/4pR 2 =I·2pR/4pR 2 =
0
=I/2R; B=Im 0 /2R (4)
Картина линий поля для кругового тока:
Поле подобно эл. статич. полю диполя. В связи с этим круговой ток пердст. собой магн. диполь. Покажем, что круг. ток может служить магн. диполем. Для этого в ф-ле (4) домножим числитель и знаменатель на pR 2 .
B=m 0 ·I·4pR 2 /2RpR 2
pR 2 =S; I·S=P m
B=m 0 ·P m /2pR 3
Закон Ампера
На опыте устан., что на проводник с током в магн. поле действ. сила. Для прямолин. проводников длиной l: F=IBl·sina. При a=90° F=IBl. Для проводников сложной формы з-н Ампера запис. в дифференц. форме: dF=IBdl·sina;
dF=I[B,dl]-векторная форма.
F=SdF
Взаимод. паралл. токов
Рассм. 2 проводника, расположенных паралл. друг к другу.
Будем считать, что 1 создаёт магн. поле, а 2 находится в поле 1-го. Тогда индукция маг. поля B 1 в точках нахождения 2: B 1 =m 0 I 1 /2pd.
F 2 =I 2 B 1 l 2 sina=mI 1 I 2 l 2 /2pd.
Можно аналог. рассм. силу F 1 , действующ. на проводник 1 со стороны поля тока I 2 . F 1 =F 2 , если l 1 =l 2 =l. Парал. токи притягиваются, антипарал. - отталкиваются.
При рассм. парал. проводников вводят силу, действ. на единицу длины проводника:
f ед.дл. =m 0 I 1 I 2 /2pd. (1)
Эта ф-ла позвол. ввести единицу силы тока в СИ “1 Ампер”.
Опред. ед. силы тока-Ампер
Полагая, что I 1 =I 2 =I из (1) имеем: I 2 =f ед.дл. ·2pd/m 0 = f ед.дл. ·d/2·10 -7 . Берём d=1м, f ед.дл. =2·10 -7 Н/м.
За единицу силы тока 1A приним. силу такого тока, который протекает по 2-м парал. проводникам, расп. на расст. 1 м в вакууме, вызывает силу взаимодействия между ними, равную 2·10 -7 Н на кажд. ед. длины.
Сила Лоренца.
Эл. ток предст. собой упорядоченн. движение эл. зарядов. На токи в магн. поле действует сила Ампера, т.е. со стор. магн. поля на кажд. носитель заряда действ. тоже сила. Эту силу наз. силой Лоренца.
F л =qVBsina; a=B^V
F л =q[V,B] - в вект. форме.
На покоящеиеся заряды сила Лоренца не действ. На заряды, влетающие в поле паралл. линиям поля сила Лор. тоже не действ.
Если одноврем. действ. электр. и магн. поля, то справедлва ф-ла Лоренца :
F=qE+F л