Вводится . Выполняются все аксиомы скалярного произведения.

- полное пространство.

Теорема 1.

Доказать: любую характеристическую функцию измеримого множества можно сколь угодно точно аппроксимировать финитными функциями.

Любое измеримое множество сколь угодно точно может быть аппроксимировано открытыми областями.

Аппроксимация получена.

Теорема 2.

Определение 2.

Теорема 3.

Оценим:

Теорема доказана.

Определение 3.

Свойства:

Теорема 4.

Доказательство.

Возьмем любые две функции:

Определение.

Определение 1.

Теорема 1.

Обобщённая производная определяется единственным образом.

Теорема 2.

Обобщённые производные не зависят от порядка дифференцирования.

Доказательство - из интегрального тождества (1).

Примеры обобщённых производных.

По определению:

Покажем, что обобщённой производной не существует.

Теорема 3.

Подсказка: если функция финитна, то её носитель - внутри области.

Если функцию умножить на срезающую, то ничего не изменится.

Теорема 4.

Утверждение.

Теорема 5.

Определение.

Утверждение.

Теорема 1.

Из сильной сходимости следует слабая:

Вывод: пространство полное.

Свойства пространств Соболева.

Утверждение.

Невырожденная, гладкая замена переменных сохраняет принадлежность функции пространству Соболева.

Теорема.

Знаменатель в 0 не обращается.

Построена

Теорема о разбиении единицы доказана.

Теорема о продолжении функции.

Частный случай - продолжение из прямоугольников.

Лемма 1.

1.Определить функцию.

Значит, функция непрерывна.

Теперь - доказательство совпадения производных.

Выполняется одно уравнение из (3), и:

Лемма 2.

Теорема о продолжении функции.

Замечание.

Введём новые переменные:

Результат преобразования

Свойства оператора продолжения:

2. Т.к. - финитная, то F(x) - финитная на

Замечание.

Теорема 2.

Сепарабельность пространств Соболева.

Теорема.

Построениe счётного всюду плотного множества.

Определение.

Утверждение.

Равенство Парсеваля.

Разложение в сходящийся ряд :

Определим вид коэффициентов Фурье:

проинтегрируем по частям и получим :

След функции из H k (Q).

Для функции из понятие значения на (n-1)- мерной поверхности не определено.

Если удовлетворяет условиям дифференцируемости, то :

Для любой непрерывной функции след - её значение на поверхности, однозначно продолженое по непрерывности.

Оценим :

Так как может быть продолжена в финитным образом,

Перейдём к пределу, получим :

Утверждение.

Рассмотрим

Определение.

Предкомпактными называются такие множества, замыкания которых компактны.

Свойство.

В гильбертовом пространстве из ограниченной последовательности можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность.

исходя из теоремы Планшереля (в обратную сторону) и свойств преобразования Фурье :

Определение.

Теорема.

Определение.

Эквивалентные нормы.

Пусть H - гильбертово пространство со скалярным произведением ( . , . ).

Из эквивалентности скалярных произведений можно пользоваться любым.

Теорема 2.

Надо доказать :

Доказательство от противного.

Имеем противоречие.Теорема доказана.

Определение.

Лемма.

f -ограничен, следовательно применим теорему Рисса :

Компактность очевидна по теореме Реллиха-Гординга.

Самосопряженность доказана.

Теорема.

Задача Дирихле для уравнения Пуассона корректна, т.е. существует единственное решение непрерывно зависящее от правой части.

Определение.

Теорема.

1. Собственные значения задачи (1) (2), являются вещественными, положительными, изолированными, имеют конечную кратность, и :

(4)

, , .

Теорема 1.

Теорема 2.

{0} всегда принадлежит спектру компактного оператора.

Теорема 3.

Рассмотрим задачу :

Краевые условия :

Теорема 1.

3 . Задачи (3) (4) и (5) (6) имеют одинаковое число линейно независимых решений.

2. Если уравнение (11) имеет нетривиальное решение, то уравнение (10) разрешимо тогда и только тогда, когда .

3.

Оценим член :

- компактно.

(13)

(14)

(15)

(1) (2) (16)

(3) (4) (17)

(5) (6) (18)

Пусть (3) (4) имеет нетривиальное решение, тогда

Т.е.

- ограничено (1)

в

Пусть - финитная в Q :

(1)

Обозначим : .

Пусть , тогда :

1) если , где , то :

(3)

(4)

2) Если для , то :

(3)

(4)

- доказано (3)

Значит :

Пусть - ограниченная, односвязная область. .

Q - симметрично относительно , т.е. если , то .

Пусть , тогда :

1) если , где , то :

2) если , то :

Указание. Для доказательства рассмотреть :

, тогда :

ограниченная.

Обобщённое решение : ,

(3)

Для любого обобщённое решение u задачи (1 ) (2)

независимо от гладкости границы, если правая часть из , то обобщённое решение тоже гладко.

Достаточно доказать, что в каждом из шаров : .

Обозначим .

- финитная, бесконечно дифференцируемая.

, v может быть использована как пробная :

(4)

Введём конечноразностный оператор. Пусть .

.

(5)

Представим (5) в виде : .

Оценим :

,

где .

Результат :

(6)

В силу 2-ой части теоремы 1 (см. стр. ...) : .

u имеет обощённые производные .

Пусть - ограничена, - обобщённое решение задачи (1) (2), тогда : .

(1)

(2)

(3)

Пусть - ограниченная область :

- обобщённое решение (1) (2), тогда

.

Доказать, что .

(4)

Введём конечноразностный оператор. Пусть .

.

При этом : .

(5)

Представим (5) в виде : .

,

где .

В силу 2-ой части теоремы 1 (см. стр. ...) : .

u имеет обощённые производные .

Пусть - обобщённое решение (1) (2), тогда :

- ограничена, следовательно u удовлетворяет уравнению (1) почти всюду в Q.

Будем считать : .

Значит : .

Пусть - ограниченная область, - обобщённое решение задачи (1) (2), тогда : .

- ограниченная область, , следовательно -непрерывно вложено.

почти всюду в Q .

(1)

, где ,

если , и :

(2)

(3)

Пусть (3) доказана для любой финитной, гладкой , то в этом случае теорема справедлива для .

;

; следует фундаментальность :

(4)

( Замечание. Предел в смысле почти всюду : п.в.

Преобразование Фурье : ,

где .

умножим и разделим на и применим неравенство Коши-Буняковского.

Где .

(1)

(2)

Функция - называется классическим решением задачи (1) (2), если она удовлетворяет уравнению (1) и краевым условиям (2).

Если , то обобщённое решение обладает следующими свойствами : .

Пусть , тогда :

Пусть - ограниченная область;

, тогда обобщённое решение

.

Доказательство.

Пусть - ограниченная область;

, тогда обобщённое решение

и является классическим решением задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

Доказательство. , следовательно всюду в Q удовлетворяет уравнению (1) и условию (2).

Пусть - обобщенная собственная функция оператора с однородными условиями Дирихле, тогда: .

Если

По теореме вложения:

Пусть - ограниченная область.

Задача (1) (2) разрешима тогда и только тогда , когда правая часть уравнения (1) ортогональна константам, т.е: .

1)

2) - компактный, самосопряженный, положительный оператор.

для однородной задачи (1) (2)

По определению обобщенного решения :

1. Если задача (3) (4) имеет единственное решение, то задача (1) (2) также имеет единственное решение для .

2. Если задача (3) (4) имеет нетривиальное решение, то задача (1) (2) разрешима тогда и только тогда, когда , где w - решение однородной сопряженной задачи.

Теорема 3.

.

2. Соответствующие собственные функции составляют ортонормированный базис в .

3. составляют ортонормированный базис в .

По Гильберту-Шмидту строится - ортогональный базис в и пусть .

- ортонормированный базис в .

Пусть - правая часть уравнения. Пусть - обобщенное решение задачи (1) (2), тогда:

Доказательство - аналогично теореме 3.

Пусть граница ; пусть правая часть . - обобщенное решение задачи (1) (2), тогда: .

Пусть граница ; правая часть - ; - обобщенное решение задачи (1) (2), тогда: .

Обобщенное решение: для .

Уравнение (1) выполняется почти всюду в Q , и:

Рассмотрим: , где:

l(u) - линейный, ограниченный функционал в .

- конечное число.

Найдется такая, что: - минимизирующая последовательность.

, такой, что: E(u)=d . u - минимизирующий элемент.

Существует единственный , минимизирующий функционал E . При этом этом любая минимизирующая последовательность является сходящейся к элементу u : .

Доказано: последовательность - фундаментальная в полном пространстве, значит: и, значит :

.

Доказано: если - минимизирующая последовательность, то она сходится к минимальному элементу.

Доказательство единственности от противного: пусть есть второй минимальный элемент; составим минимизирующую последовательность: .

Пусть составляют линейно независимую систему функций, линейная оболочка которой плотна в , т.е. полная система, значит:

может быть аппроксимирован .

Обозначим через - конечномерное подпространство , натянутое на первые k функций .

Рассмотрим - задача сводится к конечномерной.

, и E(.) может быть представлен в виде функции k переменных; обозначим её:

Необходимое условие экстремума: , тогда:

, где i=1,...,k. (1)

Обозначим решение , и: - монотонно невозрастающая последовательность минимальных значений функционала.

- последовательность Ритца.

Последовательность Ритца является минимизирующей, и, следовательно, сходится к минимизирующему элементу u : .

Т.к. всюду плотна в , то: , такие что: .

Рассмотрим значение :

Таким образом: , и при :

.

является мимимизирующим элементом для функционала E(u) тогда и только тогда, когда

Необходимость: пусть u - минимизирующий элемент; возьмем , то: , т.к. u - минимизирующий. Обозначим через . Необходимое условие экстремума: .

,

т.е. u - минимизирующий элемент, что и требовалось доказать.

1.

- интегральное тождество ( 4 )

1. Существует единственный , минимизирующий функционал в ;

- минимизирующая последовательность

2. Последовательность Ритца для функционала (3) в является минимизирующей.

3. является минимизирующей для функционала (3) тогда и только тогда, когда u является обобщенным решением задачи (5)-(6).

Любое решение такой задачи равно сумме частного неоднородного и общего однородного решения. Будем искать решение из , где - замкнутое подпространство пространства .

Обобщенное решение задачи (7)-(8) :

Если u=v=const, то илевая и правая части не изменятся и: .

Будем полагать : , тогда:

1. Существует единственный , минимизирующий функционал в ;

- минимизирующая последовательность

2. Последовательность Ритца для функционала (10) в является минимизирующей.

3. является минимизирующей для функционала (10) тогда и только тогда, когда u является обобщенным решением задачи (7)-(8).

Пусть - ограниченная область с границей класса .

Пусть , тогда:

 -- область без шара.

Надо доказать, что : .

где : - площадь поверхности единичной сферы в n -мерном пространстве.

Обозначим :

Функция u называется гармонической в области Q , если она удовлетворяет в этой области уравнению Лапласа.

Пусть u(x) - гармоническая в .

D - ограниченная область .

Пусть - гармоническая функция в Q , и пусть:

, тогда :

Обозначим :

Пусть - гармоническая в Q функция;

, тогда :

, что и требовалось доказать.

- ограниченная, связная;

u(x) - гармоническая в Q , непрерывная в , , тогда:

Предположим противное: , .

Тогда докажем, что в произвольной точке области значение функции U совпадает с M ,т.е. u -co nst. Возьмем и соединим ломанной l точки Y и Z . Покроем ломанную конечным числом шаров: . Шары такие : и , причем: , .

Если ,то: ,

(1)

(2)

- это не гарантирует существование решения.

Предположим противное: пусть есть два классических решения: . Это значит:

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

Значит: и

(1)

(2)

(3)

(4)

Обозначения: ; .

: ,

Умножим обе части на v и проинтегрируем по цилиндру:

(5)

Обобщенное решение - функция u из - называется

обобщенным решением задачи (1)-(4), если и для

, такого, что и выполняется интегральное

(1)

(2)

(3)

(4)

,

(6)

(7)

- ограниченная область;

, , ... ,

- базис,

тогда:

где:

(8)

ряд (8) сходится в пространстве и сумма этого ряда является обобщенным решением задачи (1)-(4). При этом имеет место оценка: (9)

Пусть:

Докажем, что тогда решение u(x,t) имеет вид:

(10)

(11)

(12)

при почти всех t .

если , то: - решение.

то: -обобщенное решение смешанной задачи.

Оценим и их производные:

Пусть N>M ; рассмотрим :

Значит -фундаментальная в - полном , т.е. .

Надо доказать, что u - обобщенное решение, если -обобщенное решение.

; при переходе к пределу получим:

(1)

(2)

(3)

(4)

где: - произвольная, .

Теорема доказана.

Анизотропным пространством Соболева называется множество функций .

Вводится скалярное произведение: (1)

Пространство -полно.

Пусть через .

-сепарабельно.

всюду плотно в . Возьмем

Для можно определить след : и при этом: .

Обобщенное решение - называется обобщенным решением задачи (1)-(3), если : выполняется интегральное тождество (4).

- собственные значения;

- ортогональный базис в ;

- ортонормированный базис в .

Будем считать:

при почти всех t интегрируема с квадратом в .

f -измерима и по неравенству Гельдера. .

По теореме Лебега можно слева и справа проинтегрировать по t и поменять местами .

Надо доказать сходимость в .

ряд (6) сходится в пространстве к некоторой функции , которая является обобщенным решением задачи (1)-(3). При этом:

Предположим, что правая часть уравнения имеет вид: , а начальная функция: .

Третий этап. Доказательство фундаментальности последовательности . Оценим модуль:

Надо доказать, что u - задает решение задачи.

Пусть -обобщенные решения, оценим .

- добавлена гладкость по t .

Условия, налагаемые на v : .

пусть есть , - фиксируется. Обозначим : - конус с вершиной в .

Возьмем произвольную .

.

Выберем и рассмотрим : - вне цилиндра, но внутри конуса.

Обозначим через - часть конической поверхности, ограниченной :

- дважды непрерывно дифференцируема в открытом конусе. При этом : - замыкание конуса.

Замечание: - волновой оператор.

Рассмотрим вспомогательную функцию: .

Рассмотрим: . Заметим: .

В дальнейшем: x принадлежит малому конусу с вырезанным цилиндром.

Проинтегрируем левую и правую части тождества по :

,

Разобьем этот интеграл на 3 интеграла: ;

потом .

Рассмотрим на конической поверхности интеграл

Вычислим все частные производные функции v по и по направлению внешней нормали к поверхности:

Зная, что , получим: ,

где: . Вывод: .

Рассмотрим , зная, что для .

Вычислим: - внутренняя нормаль к цилиндру.

Т.к. u - непрерывно дифференцируема на поверхности, то:

учитывая: на цилиндрической поверхности.

В силу оценки:

Получим:

Замена переменных (чтобы легче было дифференцировать по t ):

Продифференцировано первое слагаемое:

СМЫСЛ. Дважды дифференцируемая функция u(x,t) выражается через значение первых производных на сфере (границе основания конуса) и её даламбериан на боковой поверхности конуса.

Обозначим:

Функция u(x,t) , такая, что:

1) - дважды непрерывно дифференцируемая на ;

2) - один раз непрерывно дифференцируемая в замыкании этого множества;

Пусть n=3 .

Обозначим:

По формуле Кирхгофа функция u(x,t) выражается для любого конуса через функции в этом конусе. Функция u(x,t) однозначно определяется функциями в любом конусе и, значит, в полупространстве.

Таким образом, вопрос о существовании классического решения
сводится к нахождению условий, налагаемых на функции , при которых функция, стоящая в правой части формулы (4), является решением этой задачи. Получено лишь достаточное условие.

Введем функцию:

Есть . Для каждого определяется как интеграл.

Производится исследование .

Пусть функция g и все её производные по пространственным переменным непрерывны до порядка k : , тогда:

1) функция и все её производные вплоть до порядка k по x и t непрерывны на множестве :

2) для и функция удовлетворяет однородному волновому уравнению при и следующим условиям:

В (5) перейдем к новой переменной, тогда:

Применим к , тогда:

Подставим t=0 : .

Возьмем производные по t от : .

Рассмотрим производную при t=0 :

Преобразуем второе слагаемое:

обозначим :

тогда (7) примет вид: .

Используем его для вычисления второй производной по времени:

Предствляя этот объемный интеграл в виде повторного интеграла: сначала по сфере, а затем от 0 до t , получим равенство: - вследствие формулы (6) справедливо последнее равенство.

- трижды непрерывно дифференцируемая в : ;

- дважды непрерывно дифференцируема в : ;

- непрерывны : ;

Рассмотрим второе слагаемое: в силу леммы 1 есть:

Рассмотрим первое слагаемое . T.к. , то:

Начальные условия: ; .

Рассмотрим: ,

где: - обозначение.

В силу леммы 1 G и все её производные по x и t до второго порядка включительно непрерывны на множестве .

Функция G удовлетворяет:

Перейдем к F . F непрерывна вместе со всеми производными по x до второго порядка включительно в области , и её первая производная по времени непрерывна в этой области.

Вычислим производную F по t : но: , и: Следует: .

- удовлетворяет волновому уравнению:

- удовлетворяет однородным начальным условиям:

Окончательно: - удовлетворяет волновому уравнению и начальным условиям: .

Доказательство теоремы о существовании и единственности классического решения задачи Коши в случае, когда n=3 , опиралось на интегральное представление функции в виде формулы Кирхгофа. Формулы, аналогичные формуле Кирхгофа, можно вывести для произвольного числа пространственных переменных. Эти формулы дают выражение достаточно гладкой функции u(x,t) через её первые производные и даламбериан в конусе.

Пользуясь этим представлением, можно обобщить эти теоремы существования и единственности для произвольного числа переменных (n>3) .

Формулы, аналогичные формулам Кирхгофа для n=1 и n=2, можно получить из n=3 методом спуска.

Обозначения:

Рассмотрим:

Заменим .

Обозначим: .

Свойства U для уравнения теплопроводности .

1.

2.Если U продолжить тождественным 0 при , то такая функция - бесконечно дифференцируема.

Если выписывать производные функции U , то получится рациональная функция, умноженная на экспоненту, экспонента стремится к 0 быстрее любой рациональной функции, значит, пределы все равны 0, и получена бесконечная гладкость.

3.

В качестве упражнения: .

4.

где - формула представления решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.

Пусть , пусть u, Lu - ограничены в полосе.

Введём , обладающую свойством:

- используются срезающие функции.

n - размерность постранства .

N - определяет область интегрирования.

Т.к. , то

произведём замену , тогда

.

(1)

(2)

Если решение из рассматриваемого класса существует, то оно представляется формулой: .

где : .

Так как : , то :

Замена : .

, а интеграл - сходящийся.

Рассмотрим компактный оператор гильбертово пространство.

(1)

однородное уравнение (2)

однородное сопряженное уравнение (3)

2. Если уравнение (2) имеет нетривиальное решение, то тогда неоднородное уравнение (1) разрешимо тогда и только тогда, когда правая часть уравнения (1) ортогональна всем решениям уравнения (3) : .

3. Размерность ядра оператора равна размерности оператора и конечна.

.

Введём : , тогда .

, .

Предположим противное : .

, - замкнуты в подпространстве.

Пусть . Докажем, что .

.

Разложим на ортогональные составляющие.

, где .

Значит : .

1). - ограниченная последовательность, следовательно можно выбрать подпоследовательность такую, что - сходящаяся.

Доказательство. (первая часть)

Пусть , тогда : .

Получили : .

Пусть , тогда : .

.

Значит : .

.

.

Возьмём n<m и рассмотрим .

При этом .

.

Из подпоследовательности нельзя выбрать фундаментальную подпоследовательность : - фундаментальна.

Пусть , тогда .

Доказательство. (совпадает с доказательством 1-ой части теоремы).

Предположим противное : .

Предположили : , т.е. :

Для .

Одновременно : для .

Пусть

По индукции : .

.

Предположим противное, т.е. .

Обозначим через - ортонормированный базис в .

.

.

.

Пусть . По лемме 3 получаем .

Если x ортогонален для любого i , то : .

Можно выбрать .

Умножим левую и правую части равенства на :

Пусть , A - самосопряженный, ограниченный оператор; H - унитарное, бесконечномерное полное сепарабельное пространство.

Пусть - самосопряженный, линейный, ограниченный оператор, тогда все собственные значения - вещественные.

Пусть - собственное значение оператора A , соответствующее собственной функции x , тогда:

Пусть - самосопряженный, линейный, ограниченный оператор, тогда собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Пусть - различные собственные значения оператора A, соответствующие различным собственным функциям , тогда:

Рассмотрим квадратичную форму - эрмитова и принимает только вещественные значения. Обозначим через .

- норма оператора равняется супренуму от модуля квадратичной формы.

Пояснение: ,

т.е.

1) докажем, что: .

; отсюда: .

2) докажем, что: .

Обозначим через .

Пусть - ограниченный, самосопряженный оператор в H , тогда: m и M принадлежат спектру оператора A : .

Вместо A рассмотрим A-mE (спектр сдвинется на m, и оператор станет неотрицательным):

Не ограничивая общности рассуждений: оператор A - неотрицательный.

2. - докажем.

Получено: и норма образа .

A-ME - не может иметь ограниченный обратный оператор.

Подпространство называется инвариантным подпространством оператора A , если из следует .

Пусть - инвариантное подпространство ограниченного самосопряженного оператора A , тогда: - ортогональное дополнение к этому подпространству - тоже инвариантное подпространство того же самого оператора A .

Пусть ; докажем, что .

Рассмотрим: , где: , .

1. Докажем, что всегда.

Пусть , тогда существует ограниченный обратный оператор .

Возьмем . переводит шар (не компактное множество) в себя. Получено противоречие.

2. Рассмотрим

Если - собственное значение оператора A , то (2) - имеет нетривиальное решение, и (1) - всегда разрешимо. По теореме Банаха - оператор A имеет ограниченный обратный оператор.

Случай 2: ; других ненулевых точек, кроме собственного значения, быть не может.

Рассмотрим , где:

- собственный вектор, соответствующий собственному значению ,

- собственный вектор, соответствующий собственному значению ,

тогда: .

Пусть - компактный самосопряженный оператор, тогда существует ортонормированный базис , состоящий из собственных функций оператора A .

Оператор A - ненулевой, следовательно: и .

Значит, можно определить как максимум, и m , M - собственные значения. Можно найти наибольшее по модулю собственное значение . Оно имеет конечную кратность, ему соответствует некоторое количество собственных векторов.

Проведем процесс ортогонализации, и получим - подпространство собственных векторов оператора A , соответствующих собственному значению . Далее рассмотрим - тоже инвариантное подпространство, и на нем A - компактный, самосопряженный. Если A на не равен 0, на нем рассмотрим . Найдем аналогично и соответствующее ему . Рассмотрим и найдем собственное значение, если оператор - не 0. В результатет получены .

на каком-то ортогональном подпространстве оператор A обращается в 0, и получена конечная сумма , т.е. .

иначе: - ортогональная сумма подпространств совпадает с H , т.к. иначе на ортогональной сумме рассматривается ортогональное дополнение, и находится ещё одно собственное значение.

;

.