Задание 8 для экзамена «Математика»

3.1. Диагональ меньшей боковой грани прямоугольного параллелепипеда равна большему ребру основания. Высота параллелепипеда равна 2 см, диагональ основания равна 14 см. Найдите объем параллелепипеда.
3.2. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 см и катетом 6 см. Больший катет треугольника в основании призмы равен диагонали меньшей из боковых граней. Найдите высоту призмы.
3.3. Основанием прямой призмы является ромб со стороной 12 см и углом 60°. Меньшее из диагональных сечений призмы является квадратом. Найдите объем призмы.
3.4. В основании прямой призмы лежит равнобедренная трапеция с острым углом 60°; боковая сторона и меньшая из параллельных сторон трапеции равны 4 см; диагональ призмы составляет с плоскостью основания угол 30°. Вычислите объем призмы.
3.5. Диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол 45°, а диагональ боковой грани —- угол 60°. Высота прямоугольного параллелепипеда равна 8 см. Найдите его объем.
3.6. В основании прямой призмы — ромб; диагонали призмы составляют с плоскостью основания углы 30° и 60°; высота призмы равна 6 см. Найдите объем призмы.
3.7. В основании прямой призмы лежит ромб со стороной 10 см. Сторона основания удалена от двух параллельных ей сторон противолежащей боковой грани соответственно на 5 см и 13 см. Найдите объем призмы.
3.8. Ребро нижнего основания правильной четырехугольной призмы удалено от плоскости верхнего основания на 10 см. Расстояния между противолежащими боковыми ребрами равны 8 см. Найдите объем призмы.
3.9. В основании прямой призмы лежит трапеция. Площади параллельных боковых граней призмы равны 8см и 12 см , а расстояние между ними равно 5 см. Найдите объем призмы.
3.10. В основании прямой призмы лежит трапеция. Объем призмы равен 40 см . Площади параллельных боковых граней равны 6 см и 14 см . Найдите расстояние между ними.
3.11. Диагональ основания прямоугольного параллелепипеда
равна 10см, а диагонали боковых граней 2*/W см и 2 л/17 см. Найдите объем параллелепипеда.
3.12. В основании прямой призмы лежит ромб. Площадь основания призмы равна 48 см , а площади ее диагональных
сечений равны 30 см и 40 см . Найдите объем призмы.
3.13. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 3 см, площадь боковой поверхности равна 80 см . Найдите объем пирамиды.
3.14. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, площадь боковой поверхности в два раза больше площади основания. Найдите объем пирамиды.
3.15. Площадь боковой поверхности конуса равна 60тг см ; расстояние от центра основания до образующей равно 4,8 см. Найдите объем конуса.
3.16. Основание наклонной призмы — квадрат со стороной 6 см; одно из диагональных сечений призмы перпендикулярно плоскости основания и является ромбом с углом 60°. Найдите объем призмы.
3.17. В основании наклонного параллелепипеда — квадрат со стороной 3 см. Две противолежащие боковые грани перпендикулярны основанию, две другие образуют с плоскостью основания углы 30°. Полная поверхность параллелепипеда 72 см . Найдите объем параллелепипеда.
3.18. В основании наклонного параллелепипеда — ромб со стороной 4 см и острым углом 45°; боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 60°; диагональ одной боковой грани перпендикулярна плоскости основания. Найдите объем параллелепипеда.
3.19. Все 9 ребер наклонной призмы равны 4 см. Объем призмы равен 24 см . Найдите угол наклона бокового ребра призмы к плоскости основания.
3.20. В наклонной треугольной призме расстояния между боковыми ребрами равны 5см, 12 см и 13 см. Площадь меньшей боковой грани равна 22 см . Найдите объем призмы.
3.21. В основании наклонной призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 4 см и 6 см. Боковое ребро призмы составляет с плоскостью основания угол 60°. Объем призмы равен 60 см . Найдите длину бокового ребра призмы.
3.22. Две боковые грани наклонной треугольной призмы образуют угол 60°; расстояние от их общего ребра до двух других ребер равно 5 см; боковое ребро призмы равно 8 см. Найдите боковую поверхность призмы.
3.23. Две боковые грани наклонной треугольной призмы перпендикулярны. Сумма их площадей равна 70 см . Длина бокового ребра равна 5 см. Объем призмы равен 120 см . Найдите расстояния между боковыми ребрами призмы.
3.24. В правильной треугольной пирамиде высота равна стороне основания. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания.
3.25. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45°. Сторона основания пирамиды равна 6 см. Найдите объем пирамиды.
3.26. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60°. Высота пирамиды равна 3 см. Найдите площадь поверхности пирамиды.
3.27. В правильной четырехугольной пирамиде апофема образует с плоскостью основания угол 60°. Высота пирамиды равна 6 см. Найдите площадь поверхности пирамиды.
3.28. В правильной четырехугольной пирамиде апофема образует с плоскостью основания угол 30°. Сторона основания пирамиды равна 12 см. Найдите площадь поверхности пирамиды.
3.29. Высота правильной четырехугольной "пирамиды равна 6 см и образует с боковой гранью угол 30°. Найдите объем пирамиды.
3.30. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 10 см и образует с боковым ребром угол 45°. Найдите объем пирамиды.
3.31. Высота правильной треугольной пирамиды равна 8 см, а боковое ребро — 10 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
3.32. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 20 см, а боковое ребро — 16 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
3.33. Высота правильной шестиугольной пирамиды равна 12 см, а боковое ребро — 13 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
3.34. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 8 см; двугранный угол при основании пирамиды равен 60°. Найдите объем пирамиды.
3.35. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 8 см; двугранный угол при основании пирамиды равен 30°. Найдите объем пирамиды.
3.36. В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна 16см; двугранный угол при основании пирамиды равен 45°. Найдите объем пирамиды.
3.37. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 5 см; диагональное сечение равновелико основанию. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
3.38. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 10 см; диагональное сечение равновелико основанию. Найдите боковую поверхности пирамиды.
3.39. Радиус цилиндра равен 8 см, а его высота равна 12 см. Через середину оси цилиндра проведена прямая, пересекающая плоскость нижнего основания цилиндра на расстоянии 24 см от центра нижнего основания. В каких отношениях эта прямая делит пересекающиеся с ней образующие цилиндра?
3.40. Радиус цилиндра равен 6 см, а его высота равна 10 см. Через середину образующей цилиндра проведена прямая, пересекающая ось цилиндра. Эта прямая пересекает нижнее основание цилиндра на расстоянии 3 см от центра нижнего основания. В каком отношении эта прямая делит ось цилиндра?
3.41. Радиус цилиндра равен 8 см. Через середину оси цилиндра проведена прямая, пересекающая плоскость, содержащую нижнее основание цилиндра, на расстоянии 12см от центра нижнего основания. Эта прямая пересекает образующую цилиндра на расстоянии 2 см от плоскости нижнего основания. Найдите высоту цилиндра.
3.42. Высота цилиндра равна 12 см. Через середину образующей цилиндра проведена прямая, пересекающая ось цилиндра на расстоянии 4 см от нижнего основания. Эта прямая пересекает плоскость, содержащую нижнее основание цилиндра, на расстоянии 18 см от центра нижнего основания. Найдите радиус основания цилиндра.
3.43. Высота конуса равна 20 см, расстояние от центра основания до образующей равно 12 см. Найдите объем конуса.
3.44. Радиус основания конуса равен 20 см; расстояние от центра основания до образующей равно 12см, Найдите площадь боковой поверхности конуса.
3.45. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, 'гипотенуза которого равна 15см, а один из катетов — 9 см. Найдите площадь сечения, проведенного через середину высоты пирамиды параллельно ее основанию.
3.46. На расстоянии 4 см от вершины пирамиды проведено сечение, параллельное основанию. Площадь сечения равна 10 см и составляет - от площади основания пирамиды.
Найдите объем пирамиды.
3.47. Радиус основания конуса б см, а высота равна 12 см. В конусе проведено сечение параллельно основанию. Радиус сечения равен 4 см. В каком отношении сечение делит высоту конуса?
3.48. Высота конуса равна 12 см, а радиус основания равен 3 см. На каком расстоянии от вершины конуса надо провести сечение, параллельное основанию, чтобы его площадь была равна к см ?
3.49. В прямом параллелепипеде проведено сечение через диагональ нижнего основания и середину несоприкасающегося с этой диагональю бокового ребра. Расстояние от плоскости сечения до вершины нижнего основания,
не лежащей в плоскости сечения, равно 5 см. Площадь
2 сечения равна 10 см . Найдите объем параллелепипеда.
3.50. В правильной четырехугольной призме проведено сечение через диагональ нижнего основания и конец непараллельной ей диагонали верхнего основания. Площадь основания призмы и площадь сечения равны 20 см . Найдите объем призмы.
3.51. В правильной треугольной призме проведено сечение через сторону нижнего основания и середину противолежащего бокового ребра. Плоскость сечения наклонена к плоскости основания под углом 45°; площадь сечения равна 4 л/6 см . Найдите объем призмы.
3.52. Высота правильной треугольной призмы равна 12см. В призме проведено сечение через сторону нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания. Плоскость сечения наклонена к плоскости основания призмы под углом 60°. Найдите объем призмы.
3.53. В прямом параллелепипеде проведено сечение через диагональ нижнего основания и середину непересекающегося с этой диагональю бокового ребра. Объем меньшего из двух многогранников, на которые параллелепипед делится плоскостью сечения, равен 40 см . Найдите объем параллелепипеда.
3.54. В треугольной призме проведено сечение через сторону нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания. В каком отношении плоскость сечения делит объем призмы?
3.55. В треугольной пирамиде проведено сечение через среднюю линию нижнего основания и вершину пирамиды. В каком отношении плоскость сечения делит объем пирамиды?
3.56. В правильной четырехугольной пирамиде проведено сечение через середины двух смежных сторон основания перпендикулярно основанию. В каком отношении плоскость сечения делит объем пирамиды?
3.57. В прямоугольном параллелепипеде проведено сечение через ребро нижнего основания и точку пересечения диагоналей противолежащей боковой грани. В каком отношении плоскость сечения делит объем параллелепипеда?
3.58. В пирамиде проведено сечение параллельно основанию. Плоскость сечения делит пирамиду на части, объемы которых относятся как 1 : 26, считая от вершины. В каком отношении плоскость сечения делит высоту пирамиды?
3.59. В пирамиде проведено сечение параллельно основанию. Плоскость сечения делит высоту пирамиды на части, отношение которых равно 2:1, считая от вершины. В каком отношении плоскость сечения делит объем пиоамилы?
3.60. Площадь основания пирамиды равна 1м . Плоскость, параллельная основанию пирамиды, делит ее на две равновеликие части. Найдите площадь сечения пирамиды.
3.61. Развертка боковой поверхности правильной треугольной призмы есть прямоугольник со сторонами 15 см и 12 см. Определите объем этой призмы. Найдите оба решения.
3.62. Развертка боковой поверхности правильной треугольной призмы есть прямоугольник со сторонами 18 см и 9 см. Определите площадь полной поверхности этой призмы. Найдите оба решения.
3.63. Прямоугольник со сторонами 12 см и 16 см может быть двумя способами свернут в виде боковой поверхности правильной четырехугольной призмы. Сравните объемы этих призм.
3.64. Прямоугольник со сторонами 24 см и 10 см может быть двумя способами свернут в виде боковой поверхности правильной четырехугольной призмы. Сравните площади полных поверхностей этих Призм.
3.65. Прямоугольник со сторонами 12 см и 8 см в первый раз свернут в виде боковой поверхности правильной четырехугольной призмы высотой 8 см, а во второй — правильной треугольной призмы с такой же высотой. Сравните объемы этих призм.
3.66. Прямоугольник со сторонами 24 см и 10 см в первый раз свернут в виде боковой поверхности правильной четырехугольной призмы высотой 10 см, а во второй — правильной треугольной призмы с такой же высотой. Сравните площади полных поверхностей этих призм.
3.67. Квадрат со стороной 12 см в первый раз свернут в виде боковой поверхности правильной треугольной призмы, а во второй — правильной четырехугольной призмы. Сравните площади полных поверхностей этих призм.
3.68. Квадрат со стороной 24 см в первый раз свернут в виде боковой поверхности правильной треугольной призмы, а во второй — правильной четырехугольной призмы. Сравните объемы этих призм.
3.69. Ромб со стороной 10 см и острым углом 60° вращается около стороны. Найдите объем тела вращения.
3.70. Ромб со стороной 8 см и острым углом 60° вращается около стороны. Найдите площадь поверхности тела вращения.
3.71. Прямоугольная трапеция с основаниями 5 см и 8 см и высотой 4 см вращается около большего основания. Найдите объем тела вращения.
3.72. Прямоугольная трапеция с основаниями б см и 10 см и высотой 3 см вращается около большего основания. Найдите площадь поверхности тела вращения.
3.73. Прямоугольная трапеция с основаниями 10см и 14см и высотой 3 см вращается около меньшего основания. Найдите объем тела вращения.
3.74. Прямоугольная трапеция с основаниями 12см и 15 CMJ^ и высотой 4 см вращается около меньшего основания. Найдите площадь поверхности тела вращения.
3.75. Прямоугольная трапеция с основаниями 10см и 15см и высотой 12 см в первый раз вращается около меньшего из оснований, а во второй— около большего. Сравните объемы тел вращения.
3.76. Прямоугольная трапеция с основаниями 12 см и 20 см и высотой 15 см в первый раз вращается около меньшего из оснований, а во второй — около большего. Сравните площади поверхностей тел вращения.
3.77. Равнобочная трапеция с основаниями 10 см и 16 см и высотой 4 см вращается около меньшего основания. Найдите объем тела вращения.
3.78. Равнобочная трапеция с основаниями 10 см и 18 см и высотой 3 см вращается около меньшего основания. Найдите площадь поверхности тела вращения.
3.79. Равнобочная трапеция с основаниями 12 см и 18 см и высотой 4 см вращается около большего основания. Найдите объем тела вращения.
3.80. Равнобочная трапеция с основаниями 15 см и 25 см и высотой 12 см вращается около большего основания. Найдите площадь поверхности тела вращения.
3.81. Равнобочная трапеция с основаниями 12 см и 24 см и высотой 8 см в первый раз вращается около меньшего основания, а во второй — около большего. Сравните объемы тел вращения.
3.82. Равнобочная трапеция с основаниями 12 см и 28 см и высотой 6 см в первый раз вращается около меньшего основания, а во второй — около большего. Сравните площади поверхностей тел вращения.
3.83. Прямоугольный треугольник с катетом 3 см и гипотенузой 6 см вращается вокруг оси, проходящей через вершину прямого утла параллельно гипотенузе. Найдите объем тела вращения.
3.84. Квадрат со стороной 8 см вращается около прямой, проведенной через вершину параллельно диагонали, не проходящей через эту вершину. Найдите объем тела вращения.
3.85. Правильный треугольник со стороной 4 см вращается около оси, проведенной через вершину параллельно стороне, не проходящей через эту вершину. Найдите объем тела вращения.
3.86. Прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см вращается около прямой, параллельной меньшему из катетов и проходящей через вершину меньшего из углов треугольника. Найдите объем тела вращения.
3.87. Ромб со стороной 13 см и диагональю 10 см вращается около оси, проходящей через ^вершину тупого утла параллельно диагонали, не проходящей через эту вершину. Найдите объем тела вращения.
3.88. Ромб ABCD со стороной 10 см и диагональю .АС = 12 см в первый раз вращается около оси, проходящей через вершину А параллельно диагонали BD, а во второй — через вершину В параллельно диагонали АС. Сравните объемы тел вращения.
3.89. Прямоугольная трапеция с основаниями 10 см и 18 см и высотой 6 см вращается около прямой, проходящей через вершину острого угла перпендикулярно основаниям. Найдите объем тела вращения.
3.90. Три металлических кубика с ребром а сплавлены в один шар. Что больше: площадь поверхности этого шара или суммарная площадь поверхностей кубиков?
3.91. Четыре металлических шарика радиуса а сплавлены в один куб. Что больше: площадь поверхности этого куба или суммарная площадь поверхностей шариков?
3.92. Сколько шариков диаметром 2 см можно отлить из металлического куба с ребром 4 см?
3.93. Сколько кубиков с ребром 2 см можно отлить из металлического шара диаметром 4 см?
3.94. В правильную четырехугольную призму вписан цилиндр. Объем цилиндра равен V. Найдите объем призмы.
3.95. В правильную треугольную призму вписан цилиндр. Площадь боковой поверхности призмы равна S. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
3.96. В цилиндр вписана правильная треугольная призма. Площадь боковой поверхности призмы равна 5. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
3.97. В правильную треугольную пирамиду вписан конус. Объем конуса равен V. Найдите объем пирамиды.
3.98. В конус вписана правильная четырехугольная пирамида. Объем пирамиды равен V. Найдите объем конуса.
3.99. В куб вписан шар. Найдите отношение площадей поверхностей куба и шара.
3.100. В шар вписан куб. Найдите отношение объемов шара и куба.